До змісту

Розв'язання вправи № 107 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Побудуйте графік функції:

1) y=30x−18x23x3−5x2y = \frac{30x - 18x^2}{3x^3 - 5x^2};

2) y=4+xx2+x+3x+1y = \frac{4+x}{x^2+x} + \frac{3}{x+1}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для побудови графіків таких функцій, спочатку потрібно спростити вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники та скоротивши дріб. Важливо визначити область допустимих значень (ОДЗ) до скорочення, щоб знайти "виколоті" точки на графіку.

1) y=30x−18x23x3−5x2y = \frac{30x - 18x^2}{3x^3 - 5x^2}

Спочатку знайдемо область допустимих значень (ОДЗ). Знаменник не може дорівнювати нулю:

3x3−5x2≠0 3x^3 - 5x^2 \ne 0
x2(3x−5)≠0 x^2(3x - 5) \ne 0

Звідси x2≠0⇒x≠0x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0, та 3x−5≠0⇒x≠533x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{5}{3}.

Тепер спростимо вираз. Винесемо спільні множники за дужки:

y=6x(5−3x)x2(3x−5)=6x(5−3x)−x2(5−3x) y = \frac{6x(5 - 3x)}{x^2(3x - 5)} = \frac{6x(5 - 3x)}{-x^2(5 - 3x)}

Скоротимо дріб на xx та (5−3x)(5-3x):

y=6−x=−6x y = \frac{6}{-x} = -\frac{6}{x}

Отже, графіком функції є гіпербола y=−6xy = -\frac{6}{x} з виколотими точками, абсциси яких x=0x=0 (що неможливо для гіперболи) та x=5/3x=5/3. Знайдемо ординату виколотої точки:

y(53)=−65/3=−6⋅35=−185=−3.6 y(\frac{5}{3}) = -\frac{6}{5/3} = -6 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{18}{5} = -3.6

Графіком є гіпербола y=−6xy = -\frac{6}{x} з виколотою точкою (53;−3.6)(\frac{5}{3}; -3.6). Вітки гіперболи розташовані у II та IV координатних чвертях.

2) y=4+xx2+x+3x+1y = \frac{4+x}{x^2+x} + \frac{3}{x+1}

Знайдемо ОДЗ. Знаменники x2+xx^2+x та x+1x+1 не дорівнюють нулю.

x2+x=x(x+1)≠0⇒x≠0x^2+x = x(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0 і x≠−1x \ne -1.

Спростимо вираз, звівши до спільного знаменника x(x+1)x(x+1):

y=4+xx(x+1)+3xx(x+1)=4+x+3xx(x+1)=4+4xx(x+1) y = \frac{4+x}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)} = \frac{4+x+3x}{x(x+1)} = \frac{4+4x}{x(x+1)}

Винесемо спільний множник у чисельнику:

y=4(1+x)x(x+1) y = \frac{4(1+x)}{x(x+1)}

Скоротимо дріб на (x+1)(x+1):

y=4x y = \frac{4}{x}

Отже, графіком функції є гіпербола y=4xy = \frac{4}{x} з виколотою точкою, абсциса якої x=−1x=-1. Знайдемо ординату цієї точки:

y(−1)=4−1=−4 y(-1) = \frac{4}{-1} = -4

Графіком є гіпербола y=4xy = \frac{4}{x} з виколотою точкою (−1;−4)(-1; -4). Вітки гіперболи розташовані у I та III координатних чвертях.