До змісту

Розв'язання вправи № 69 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Розв'яжіть рівняння:

1) 2x−13x+1−2x+13x−5=0 \frac{2x-1}{3x+1}-\frac{2x+1}{3x-5}=0 ;     2) 4+1x−2=12−x 4+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2-x} ;

3) 83x−3+2+xx−1=52−2x−518 \frac{8}{3x-3}+\frac{2+x}{x-1}=\frac{5}{2-2x}-\frac{5}{18} ;     4) 2xx2−1=xx+1+xx−1 \frac{2x}{x^2-1}=\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1} .

Короткий розв'язок

1) (2x−1)(3x−5)−(2x+1)(3x+1)=0⇒−16x+4=0⇒x=1/4 (2x-1)(3x-5)-(2x+1)(3x+1)=0 \Rightarrow -16x+4=0 \Rightarrow x=1/4 .

2) 4+1x−2+1x−2=0⇒4(x−2)+2=0⇒4x−6=0⇒x=1.5 4 + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} = 0 \Rightarrow 4(x-2)+2=0 \Rightarrow 4x-6=0 \Rightarrow x=1.5 . Ой, x=2.5x=2.5. 4x−8+2=04x-8+2=0

3) 83(x−1)+3(2+x)3(x−1)=−52(x−1)−518⇒14+3x3(x−1)=−52(x−1)−518 \frac{8}{3(x-1)}+\frac{3(2+x)}{3(x-1)}=-\frac{5}{2(x-1)}-\frac{5}{18} \Rightarrow \frac{14+3x}{3(x-1)}=-\frac{5}{2(x-1)}-\frac{5}{18} . 2(14+3x)=−15−5/6(x−1) 2(14+3x) = -15 - 5/6(x-1) . Помножимо на 18(x−1)18(x-1). 6(14+3x)=−45−5(x−1)⇒84+18x=−45−5x+5⇒23x=−124⇒x=−124/236(14+3x) = -45 - 5(x-1) \Rightarrow 84+18x=-45-5x+5 \Rightarrow 23x=-124 \Rightarrow x=-124/23.

4) 2xx2−1=x(x−1)+x(x+1)x2−1⇒2x=2x2⇒2x(x−1)=0⇒x=0,x=1 \frac{2x}{x^2-1} = \frac{x(x-1)+x(x+1)}{x^2-1} \Rightarrow 2x = 2x^2 \Rightarrow 2x(x-1)=0 \Rightarrow x=0, x=1 . ОДЗ: x≠±1x \ne \pm 1. Відповідь: 0.

Помилка у 3 завданні. 83(x−1)+2+xx−1+52(x−1)+518=0 \frac{8}{3(x-1)}+\frac{2+x}{x-1}+\frac{5}{2(x-1)}+\frac{5}{18}=0 . 83+3(2+x)3+52+5(x−1)18=0 \frac{8}{3}+\frac{3(2+x)}{3}+\frac{5}{2}+\frac{5(x-1)}{18}=0 . 14+3x3(x−1)+52(x−1)+518=0 \frac{14+3x}{3(x-1)} + \frac{5}{2(x-1)} + \frac{5}{18} = 0 . 6(14+3x)+15(3)+5(x−1)=0 6(14+3x)+15(3)+5(x-1)=0 . 84+18x+45+5x−5=0⇒23x=−124⇒x=−124/23 84+18x+45+5x-5=0 \Rightarrow 23x=-124 \Rightarrow x=-124/23 .

Знову помилка у 3. 83(x−1)+2+xx−1=8+3(2+x)3(x−1)=14+3x3(x−1) \frac{8}{3(x-1)}+\frac{2+x}{x-1} = \frac{8+3(2+x)}{3(x-1)} = \frac{14+3x}{3(x-1)} . Права частина: −52(x−1)−518 -\frac{5}{2(x-1)}-\frac{5}{18} . 14+3x3(x−1)=−52(x−1)−518 \frac{14+3x}{3(x-1)} = -\frac{5}{2(x-1)}-\frac{5}{18} . 18(x−1) 18(x-1) . 6(14+3x)=−9⋅5−5(x−1) 6(14+3x) = -9 \cdot 5 - 5(x-1) . 84+18x=−45−5x+5⇒23x=−84⇒x=−84/23 84+18x = -45 -5x+5 \Rightarrow 23x = -84 \Rightarrow x = -84/23 .

Остання спроба 3. 8/3+2+xx−1=14/3+xx−1 \frac{8/3+2+x}{x-1} = \frac{14/3+x}{x-1} . 14+3x3(x−1) \frac{14+3x}{3(x-1)} . Права частина: −5⋅9−5(x−1)18(x−1) \frac{-5 \cdot 9 - 5(x-1)}{18(x-1)} . Невірно. 52−2x=−52(x−1) \frac{5}{2-2x} = -\frac{5}{2(x-1)} . 83(x−1)+2+xx−1+52(x−1)=−518 \frac{8}{3(x-1)} + \frac{2+x}{x-1} + \frac{5}{2(x-1)} = -\frac{5}{18} . 16+6(2+x)+156(x−1)=−518 \frac{16+6(2+x)+15}{6(x-1)} = -\frac{5}{18} . 16+12+6x+156(x−1)=43+6x6(x−1)=−518 \frac{16+12+6x+15}{6(x-1)} = \frac{43+6x}{6(x-1)} = -\frac{5}{18} . 18(43+6x)=−30(x−1)⇒3(43+6x)=−5(x−1)⇒129+18x=−5x+5⇒23x=−124⇒x=−124/23 18(43+6x)=-30(x-1) \Rightarrow 3(43+6x)=-5(x-1) \Rightarrow 129+18x=-5x+5 \Rightarrow 23x=-124 \Rightarrow x=-124/23 .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Загальний підхід до розв'язання таких рівнянь — перенести всі доданки в одну сторону, звести їх до спільного знаменника, і потім прирівняти чисельник до нуля, перевіривши, що корені не перетворюють знаменник на нуль (тобто входять в ОДЗ).

1) 2x−13x+1−2x+13x−5=0 \frac{2x-1}{3x+1}-\frac{2x+1}{3x-5}=0

ОДЗ: 3x+1≠0⇒x≠−1/3 3x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1/3 ; 3x−5≠0⇒x≠5/3 3x-5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5/3 .

2x−13x+1=2x+13x−5 \frac{2x-1}{3x+1} = \frac{2x+1}{3x-5} . За властивістю пропорції:

(2x−1)(3x−5)=(2x+1)(3x+1) (2x-1)(3x-5) = (2x+1)(3x+1)

6x2−10x−3x+5=6x2+2x+3x+1 6x^2-10x-3x+5 = 6x^2+2x+3x+1

6x2−13x+5=6x2+5x+1⇒−18x=−4⇒x=4/18=2/9 6x^2-13x+5 = 6x^2+5x+1 \Rightarrow -18x = -4 \Rightarrow x = 4/18 = 2/9 .

Відповідь: 2/9.

2) 4+1x−2=12−x 4+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2-x}

ОДЗ: x≠2 x \ne 2 . 12−x=−1x−2 \frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2} .

4+1x−2=−1x−2⇒4+2x−2=0 4+\frac{1}{x-2} = -\frac{1}{x-2} \Rightarrow 4+\frac{2}{x-2}=0 .

4(x−2)+2x−2=0⇒4x−8+2=0⇒4x=6⇒x=1.5 \frac{4(x-2)+2}{x-2}=0 \Rightarrow 4x-8+2=0 \Rightarrow 4x=6 \Rightarrow x=1.5 .

Відповідь: 1,5.

3) 83x−3+2+xx−1=52−2x−518 \frac{8}{3x-3}+\frac{2+x}{x-1}=\frac{5}{2-2x}-\frac{5}{18}

ОДЗ: x≠1 x \ne 1 . Розкладемо знаменники: 83(x−1)+2+xx−1=−52(x−1)−518 \frac{8}{3(x-1)}+\frac{2+x}{x-1}=-\frac{5}{2(x-1)}-\frac{5}{18} .

Помножимо все рівняння на 18(x−1) 18(x-1) :

6⋅8+18(2+x)=−9⋅5−5(x−1) 6 \cdot 8 + 18(2+x) = -9 \cdot 5 - 5(x-1)

48+36+18x=−45−5x+5 48 + 36 + 18x = -45 - 5x + 5

84+18x=−40−5x⇒23x=−124⇒x=−124/23 84+18x = -40-5x \Rightarrow 23x = -124 \Rightarrow x = -124/23 .

Відповідь: -124/23.

4) 2xx2−1=xx+1+xx−1 \frac{2x}{x^2-1}=\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1}

ОДЗ: x≠±1 x \ne \pm 1 . Зведемо праву частину до спільного знаменника (x−1)(x+1)=x2−1 (x-1)(x+1)=x^2-1 .

2xx2−1=x(x−1)+x(x+1)x2−1 \frac{2x}{x^2-1} = \frac{x(x-1)+x(x+1)}{x^2-1} .

Прирівнюємо чисельники: 2x=x2−x+x2+x⇒2x=2x2⇒2x2−2x=0 2x = x^2-x+x^2+x \Rightarrow 2x = 2x^2 \Rightarrow 2x^2-2x=0 .

2x(x−1)=0 2x(x-1)=0 . Корені: x=0 x=0 або x=1 x=1 .

Корінь x=1x=1 не входить до ОДЗ. Залишається x=0x=0.

Відповідь: 0.