Розв'язання вправи № 71 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Розв'яжіть рівняння:
1) $ \frac{5}{(3x-1)^2}+\frac{1}{(3x+1)^2}=\frac{6}{9x^2-1} $; 2) $ \frac{|4x+3|}{x-1}=\frac{7}{x-1} $.
Короткий розв'язок
1) Нехай $ t = \frac{3x-1}{3x+1} $. $ 5 \cdot \frac{1}{t^2}+1=6 \cdot \frac{1}{t} \Rightarrow t^2-6t+5=0 \Rightarrow t_1=1, t_2=5 $. 1) $ \frac{3x-1}{3x+1}=1 \Rightarrow 3x-1=3x+1 \Rightarrow -1=1 $ (немає коренів). 2) $ \frac{3x-1}{3x+1}=5 \Rightarrow 3x-1=15x+5 \Rightarrow -12x=6 \Rightarrow x=-1/2 $.
Помилка у розв'язанні 1. $ 9x^2-1 = (3x-1)(3x+1) $. Помножимо на $ (3x-1)^2(3x+1)^2 $. $ 5(3x+1)^2+(3x-1)^2=6(3x-1)(3x+1) $. $ 5(9x^2+6x+1)+9x^2-6x+1 = 6(9x^2-1) \Rightarrow 45x^2+30x+5+9x^2-6x+1 = 54x^2-6 \Rightarrow 54x^2+24x+6 = 54x^2-6 \Rightarrow 24x=-12 \Rightarrow x=-1/2 $.
2) $ |4x+3|=7 $. ОДЗ: $ x \ne 1 $. 1) $ 4x+3=7 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1 $. 2) $ 4x+3=-7 \Rightarrow 4x=-10 \Rightarrow x=-2.5 $. Корінь $x=1$ не входить в ОДЗ. Відповідь: -2.5.
Детальний розв'язок
1) $ \frac{5}{(3x-1)^2}+\frac{1}{(3x+1)^2}=\frac{6}{9x^2-1} $
ОДЗ: $ 3x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1/3 $; $ 3x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1/3 $.
Розкладемо знаменник у правій частині: $ 9x^2-1=(3x-1)(3x+1) $.
Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $ (3x-1)^2(3x+1)^2 $:
Розкриємо дужки:
Зведемо подібні доданки:
Корінь $x = -1/2$ задовольняє ОДЗ.
Відповідь: -1/2.
2) $ \frac{|4x+3|}{x-1}=\frac{7}{x-1} $
ОДЗ: $ x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 $.
Оскільки знаменники рівні і не дорівнюють нулю, можемо прирівняти чисельники:
Це рівняння з модулем розпадається на два випадки:
Випадок 1: $ 4x+3 = 7 $
Цей корінь не задовольняє ОДЗ ($ x \ne 1 $), тому він є стороннім.
Випадок 2: $ 4x+3 = -7 $
Цей корінь задовольняє ОДЗ.
Відповідь: -2,5.
