До змісту

Розв'язання вправи № 71 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Розв'яжіть рівняння:

1) 5(3x−1)2+1(3x+1)2=69x2−1 \frac{5}{(3x-1)^2}+\frac{1}{(3x+1)^2}=\frac{6}{9x^2-1} ;     2) ∣4x+3∣x−1=7x−1 \frac{|4x+3|}{x-1}=\frac{7}{x-1} .

Короткий розв'язок

1) Нехай t=3x−13x+1 t = \frac{3x-1}{3x+1} . 5⋅1t2+1=6⋅1t⇒t2−6t+5=0⇒t1=1,t2=5 5 \cdot \frac{1}{t^2}+1=6 \cdot \frac{1}{t} \Rightarrow t^2-6t+5=0 \Rightarrow t_1=1, t_2=5 . 1) 3x−13x+1=1⇒3x−1=3x+1⇒−1=1 \frac{3x-1}{3x+1}=1 \Rightarrow 3x-1=3x+1 \Rightarrow -1=1 (немає коренів). 2) 3x−13x+1=5⇒3x−1=15x+5⇒−12x=6⇒x=−1/2 \frac{3x-1}{3x+1}=5 \Rightarrow 3x-1=15x+5 \Rightarrow -12x=6 \Rightarrow x=-1/2 .

Помилка у розв'язанні 1. 9x2−1=(3x−1)(3x+1) 9x^2-1 = (3x-1)(3x+1) . Помножимо на (3x−1)2(3x+1)2 (3x-1)^2(3x+1)^2 . 5(3x+1)2+(3x−1)2=6(3x−1)(3x+1) 5(3x+1)^2+(3x-1)^2=6(3x-1)(3x+1) . 5(9x2+6x+1)+9x2−6x+1=6(9x2−1)⇒45x2+30x+5+9x2−6x+1=54x2−6⇒54x2+24x+6=54x2−6⇒24x=−12⇒x=−1/2 5(9x^2+6x+1)+9x^2-6x+1 = 6(9x^2-1) \Rightarrow 45x^2+30x+5+9x^2-6x+1 = 54x^2-6 \Rightarrow 54x^2+24x+6 = 54x^2-6 \Rightarrow 24x=-12 \Rightarrow x=-1/2 .

2) ∣4x+3∣=7 |4x+3|=7 . ОДЗ: x≠1 x \ne 1 . 1) 4x+3=7⇒4x=4⇒x=1 4x+3=7 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1 . 2) 4x+3=−7⇒4x=−10⇒x=−2.5 4x+3=-7 \Rightarrow 4x=-10 \Rightarrow x=-2.5 . Корінь x=1x=1 не входить в ОДЗ. Відповідь: -2.5.

Детальний розв'язок

1) 5(3x−1)2+1(3x+1)2=69x2−1 \frac{5}{(3x-1)^2}+\frac{1}{(3x+1)^2}=\frac{6}{9x^2-1}

ОДЗ: 3x−1≠0⇒x≠1/3 3x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1/3 ; 3x+1≠0⇒x≠−1/3 3x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1/3 .

Розкладемо знаменник у правій частині: 9x2−1=(3x−1)(3x+1) 9x^2-1=(3x-1)(3x+1) .

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник (3x−1)2(3x+1)2 (3x-1)^2(3x+1)^2 :

5(3x+1)2+1(3x−1)2=6(3x−1)(3x+1) 5(3x+1)^2 + 1(3x-1)^2 = 6(3x-1)(3x+1)

Розкриємо дужки:

5(9x2+6x+1)+(9x2−6x+1)=6(9x2−1) 5(9x^2+6x+1) + (9x^2-6x+1) = 6(9x^2-1)
45x2+30x+5+9x2−6x+1=54x2−6 45x^2+30x+5 + 9x^2-6x+1 = 54x^2-6

Зведемо подібні доданки:

54x2+24x+6=54x2−6 54x^2+24x+6 = 54x^2-6
24x=−12 24x = -12
x=−1/2 x = -1/2

Корінь x=−1/2x = -1/2 задовольняє ОДЗ.

Відповідь: -1/2.

2) ∣4x+3∣x−1=7x−1 \frac{|4x+3|}{x-1}=\frac{7}{x-1}

ОДЗ: x−1≠0⇒x≠1 x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 .

Оскільки знаменники рівні і не дорівнюють нулю, можемо прирівняти чисельники:

∣4x+3∣=7 |4x+3| = 7

Це рівняння з модулем розпадається на два випадки:

Випадок 1: 4x+3=7 4x+3 = 7

4x=4 4x = 4
x=1 x = 1

Цей корінь не задовольняє ОДЗ (x≠1 x \ne 1 ), тому він є стороннім.

Випадок 2: 4x+3=−7 4x+3 = -7

4x=−10 4x = -10
x=−10/4=−2.5 x = -10/4 = -2.5

Цей корінь задовольняє ОДЗ.

Відповідь: -2,5.