Розв'язання вправи № 73 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Розв'яжіть рівняння, де $x$ - змінна:

1) $\frac{a}{x}=5$ ; 2) $\frac{a}{x}-\frac{b}{x}=2$ .

Короткий розв'язок

1) $x=a/5$ . ОДЗ: $x \ne 0$ . Якщо $a=0$ , то $x=0$ , що не входить в ОДЗ. Відповідь: якщо $a=0$ - коренів немає, якщо $a \ne 0$ , $x=a/5$ .

2) $\frac{a-b}{x}=2 \Rightarrow x=\frac{a-b}{2}$ . ОДЗ: $x \ne 0$ . Якщо $a=b$ , то $x=0$ , що не входить в ОДЗ. Відповідь: якщо $a=b$ - коренів немає, якщо $a \ne b$ , $x=(a-b)/2$ .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Це рівняння з параметрами $a$ і $b$ . Розв'язок потрібно знайти відносно змінної $x$ , виразивши її через параметри. Важливо проаналізувати, за яких значень параметрів рівняння має корені, а за яких — ні.

1) $\frac{a}{x}=5$

ОДЗ: $x \ne 0$ .

З рівняння виразимо $x$ :

5x = a \Rightarrow x = \frac{a}{5}

Тепер потрібно перевірити, чи задовольняє цей розв'язок ОДЗ. $x$ не може дорівнювати нулю.

$\frac{a}{5} \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$ .

Аналіз розв'язку:

Якщо $a \ne 0$ , то корінь $x = a/5$ існує і не дорівнює нулю.
Якщо $a = 0$ , то рівняння набуває вигляду $\frac{0}{x}=5$ , що є неправильною рівністю ( $0=5$ ), отже, коренів немає. Або, формально, $x=0/5=0$ , що не входить до ОДЗ.

Відповідь: якщо $a=0$ , коренів немає; якщо $a \ne 0$ , то $x=a/5$ .

2) $\frac{a}{x}-\frac{b}{x}=2$

ОДЗ: $x \ne 0$ .

Спростимо ліву частину:

\frac{a-b}{x} = 2

Виразимо $x$ :

2x = a-b \Rightarrow x = \frac{a-b}{2}

Перевіримо, за яких умов розв'язок задовольняє ОДЗ ( $x \ne 0$ ):

$\frac{a-b}{2} \ne 0 \Rightarrow a-b \ne 0 \Rightarrow a \ne b$ .

Аналіз розв'язку:

Якщо $a \ne b$ , то корінь $x = (a-b)/2$ існує і не дорівнює нулю.
Якщо $a = b$ , то рівняння набуває вигляду $\frac{0}{x}=2$ , що є неправильною рівністю ( $0=2$ ), отже, коренів немає. Або, формально, $x=0/2=0$ , що не входить до ОДЗ.

Відповідь: якщо $a=b$ , коренів немає; якщо $a \ne b$ , то $x=(a-b)/2$ .