ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №1 (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Який з виразів є цілим виразом?
А) $\frac{5x-1}{4}$; Б) $\frac{4}{5x+1}$; В) $4-\frac{1}{5x}$; Г) $\frac{1}{x+3}+7$.
2. Скоротіть дріб:
1) $\frac{14x^2y^6}{35x^4y}$; 2) $\frac{9m+15a}{3ma}$; 3) $\frac{p^2-9}{p^2+6p+9}$.
3. Зведіть дріб:
1) $\frac{x}{m-t}$ до знаменника $m^2-mt$;
2) $\frac{7}{a-x}$ до знаменника $a^2-2ax+x^2$;
3) $\frac{1}{p+6}$ до знаменника $p^2-36$.
4. Знайдіть область визначення виразу $\frac{y}{|y-2|-6}$.
Короткий розв'язок
1. А) $\frac{5x-1}{4}$
2. 1) $\frac{2y^5}{5x^2}$; 2) $\frac{3m+5a}{ma}$; 3) $\frac{p-3}{p+3}$
3. 1) $\frac{mx}{m^2-mt}$; 2) $\frac{7(a-x)}{(a-x)^2}$; 3) $\frac{p-6}{p^2-36}$
4. Область визначення: $y \neq 8$ і $y \neq -4$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо визначення раціональних виразів, основну властивість дробу, формули скороченого множення та поняття області визначення виразу.
1. Який з виразів є цілим виразом.
Цілими називають вирази, що не містять ділення на змінну. У виразі А) $\frac{5x-1}{4}$ ділення відбувається на число 4. Інші варіанти містять ділення на вираз зі змінною.
Відповідь: А.
2. Скоротіть дріб.
1) $\frac{14x^2y^6}{35x^4y} = \frac{14}{35} \cdot \frac{x^2}{x^4} \cdot \frac{y^6}{y^1} = \frac{2}{5} \cdot x^{2-4} \cdot y^{6-1} = \frac{2}{5} \cdot x^{-2} \cdot y^5 = \frac{2y^5}{5x^2}$
2) $\frac{9m+15a}{3ma} = \frac{3(3m+5a)}{3ma} = \frac{3m+5a}{ma}$
3) $\frac{p^2-9}{p^2+6p+9} = \frac{(p-3)(p+3)}{(p+3)^2} = \frac{p-3}{p+3}$
3. Зведіть дріб.
1) Щоб звести дріб $\frac{x}{m-t}$ до знаменника $m^2-mt = m(m-t)$, потрібно помножити чисельник і знаменник на додатковий множник $m$.
$\frac{x \cdot m}{(m-t) \cdot m} = \frac{mx}{m^2-mt}$
2) Знаменник $a^2-2ax+x^2$ є квадратом різниці $(a-x)^2$. Щоб звести дріб $\frac{7}{a-x}$ до цього знаменника, потрібно помножити чисельник і знаменник на $(a-x)$.
$\frac{7 \cdot (a-x)}{(a-x) \cdot (a-x)} = \frac{7(a-x)}{(a-x)^2}$
3) Знаменник $p^2-36$ можна розкласти за формулою різниці квадратів: $(p-6)(p+6)$. Щоб звести дріб $\frac{1}{p+6}$ до цього знаменника, потрібно домножити його на $(p-6)$.
$\frac{1 \cdot (p-6)}{(p+6) \cdot (p-6)} = \frac{p-6}{p^2-36}$
4. Знайдіть область визначення виразу.
Область визначення дробового виразу — це всі значення змінної, при яких знаменник не дорівнює нулю. Отже, $|y-2|-6 \neq 0$.
$|y-2| \neq 6$
Це рівняння розпадається на два випадки:
1) $y-2 \neq 6 \implies y \neq 8$
2) $y-2 \neq -6 \implies y \neq -4$
Відповідь: Областю визначення є всі числа, крім $y=8$ та $y=-4$.
