ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №1 (Варіант 4)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Який з виразів є цілим?
А) $1 + \frac{1}{x}$; Б) $\frac{7}{6x-1}$; В) $\frac{x}{7}$; Г) $\frac{8x-1}{7}$.
2. Скоротіть дріб:
1) $\frac{12my^3}{18my^5}$; 2) $\frac{16a+20b}{4ab}$; 3) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}$.
3. Зведіть дріб:
1) $\frac{a}{x+y}$ до знаменника $x^2+xy$;
2) $\frac{8}{p+m}$ до знаменника $p^2+2pm+m^2$;
3) $\frac{3}{y-6}$ до знаменника $y^2-36$.
4. Знайдіть область визначення виразу $\frac{a}{|a-3|-5}$.
Короткий розв'язок
1. В) $\frac{x}{7}$ та Г) $\frac{8x-1}{7}$
2. 1) $\frac{2}{3y^2}$; 2) $\frac{4a+5b}{ab}$; 3) $\frac{x-5}{x+5}$
3. 1) $\frac{ax}{x^2+xy}$; 2) $\frac{8(p+m)}{(p+m)^2}$; 3) $\frac{3(y+6)}{y^2-36}$
4. Область визначення: $a \neq 8$ і $a \neq -2$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо визначення раціональних виразів, основну властивість дробу, формули скороченого множення та поняття області визначення виразу.
1. Який з виразів є цілим.
Цілими називають вирази, що не містять ділення на змінну. У виразах В) $\frac{x}{7}$ та Г) $\frac{8x-1}{7}$ ділення відбувається на число 7. Інші варіанти містять ділення на вираз зі змінною, тому є дробовими.
Відповідь: В, Г.
2. Скоротіть дріб.
1) $\frac{12my^3}{18my^5} = \frac{12}{18} \cdot \frac{m}{m} \cdot \frac{y^3}{y^5} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot y^{3-5} = \frac{2}{3}y^{-2} = \frac{2}{3y^2}$
2) $\frac{16a+20b}{4ab} = \frac{4(4a+5b)}{4ab} = \frac{4a+5b}{ab}$
3) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-25} = \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{x+5}$
3. Зведіть дріб.
1) Зведемо дріб $\frac{a}{x+y}$ до знаменника $x^2+xy$.
Новий знаменник: $x^2+xy = x(x+y)$. Додатковий множник: $x$.
$\frac{a \cdot x}{(x+y) \cdot x} = \frac{ax}{x^2+xy}$
2) Зведемо дріб $\frac{8}{p+m}$ до знаменника $p^2+2pm+m^2$.
Новий знаменник: $p^2+2pm+m^2 = (p+m)^2$. Додатковий множник: $(p+m)$.
$\frac{8 \cdot (p+m)}{(p+m) \cdot (p+m)} = \frac{8(p+m)}{(p+m)^2}$
3) Зведемо дріб $\frac{3}{y-6}$ до знаменника $y^2-36$.
Новий знаменник: $y^2-36 = (y-6)(y+6)$. Додатковий множник: $(y+6)$.
$\frac{3 \cdot (y+6)}{(y-6) \cdot (y+6)} = \frac{3(y+6)}{y^2-36}$
4. Знайдіть область визначення виразу.
Знаменник дробу $\frac{a}{|a-3|-5}$ не може дорівнювати нулю.
$|a-3|-5 = 0$
$|a-3| = 5$
Це рівняння має два розв'язки:
1) $a-3 = 5 \implies a = 8$
2) $a-3 = -5 \implies a = -2$
Отже, недопустимими значеннями є $a=8$ та $a=-2$.
Відповідь: Усі числа, крім $8$ та $-2$.
