ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Чому дорівнює добуток коренів квадратного рівняння $x^2 + 2x - 7 = 0$?
А. -7 Б. 7 В. 2 Г. -2
2. Одне з двох натуральних чисел на 5 більше за інше. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 104.
3. Один з коренів рівняння $x^2 + px - 12 = 0$ дорівнює 1,5. Знайдіть коефіцієнт $p$ і другий корінь рівняння.
4. У чемпіонаті школи з баскетболу провели 21 матч. Кожна команда з іншою зіграла по одному разу. Скільки команд узяло участь у цьому чемпіонаті?
Короткий розв'язок
1. За теоремою Вієта $x_1 \cdot x_2 = q = -7$. Відповідь: А.
2. $x(x + 5) = 104 \implies x^2 + 5x - 104 = 0$. Корені: 8 та -13. Оскільки числа натуральні, то це 8 та 13.
3. $x_2 = -12 / 1,5 = -8$; $p = -(1,5 - 8) = 6,5$. Відповідь: $p = 6,5$; $x_2 = -8$.
4. $\frac{n(n - 1)}{2} = 21 \implies n^2 - n - 42 = 0 \implies n = 7$. Відповідь: 7 команд.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння $x^2 + px + q = 0$: сума коренів дорівнює $-p$, а добуток — $q$. Для прикладних задач складаємо рівняння за умовою, де кількість об'єктів або матчів часто описується квадратним рівнянням.
1. Дано рівняння $x^2 + 2x - 7 = 0$. Це зведене квадратне рівняння. За теоремою Вієта добуток коренів дорівнює вільному члену $q$.
Отже, $x_1 \cdot x_2 = -7$.
Відповідь: А.
2. Нехай перше натуральне число дорівнює $n$, тоді друге число дорівнює $n + 5$.
За умовою їх добуток дорівнює 104:
$n(n + 5) = 104$;
$n^2 + 5n - 104 = 0$.
Знайдемо корені за допомогою дискримінанта або теореми Вієта:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-104) = 25 + 416 = 441 = 21^2$;
$n_1 = \frac{-5 + 21}{2} = 8$;
$n_2 = \frac{-5 - 21}{2} = -13$.
Оскільки числа за умовою натуральні, то $n = 8$. Тоді друге число: $8 + 5 = 13$.
Відповідь: 8; 13.
3. У рівнянні $x^2 + px - 12 = 0$ відомо, що $x_1 = 1,5$ та $q = -12$.
За теоремою Вієта:
1) $x_1 \cdot x_2 = -12 \implies 1,5 \cdot x_2 = -12 \implies x_2 = -12 / 1,5 = -8$.
2) $x_1 + x_2 = -p \implies 1,5 + (-8) = -p \implies -6,5 = -p \implies p = 6,5$.
Відповідь: $p = 6,5$; $x_2 = -8$.
4. Нехай у чемпіонаті брало участь $n$ команд. Кожна команда зіграла $n - 1$ матч.
Оскільки кожен матч пораховано двічі (для обох команд), загальна кількість матчів обчислюється за формулою: $N = \frac{n(n - 1)}{2}$.
$\frac{n(n - 1)}{2} = 21$;
$n^2 - n = 42$;
$n^2 - n - 42 = 0$.
За теоремою Вієта корені рівняння: $n_1 = 7$, $n_2 = -6$. Кількість команд не може бути від'ємною, отже $n = 7$.
Відповідь: 7 команд.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.