ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Чому дорівнює добуток коренів квадратного рівняння $x^2 - 5x + 2 = 0$?
А. 5 Б. -2 В. -5 Г. 2

2. Добуток двох натуральних чисел дорівнює 112, причому одне з них на 6 більше за інше. Знайдіть ці числа.

3. Один з коренів рівняння $x^2 + px + 15 = 0$ дорівнює 2,5. Знайдіть $p$ і другий корінь.

4. У чемпіонаті міста з футболу було зіграно 36 матчів, причому кожна команда зіграла з іншою по одному разу. Скільки команд узяло участь у цьому чемпіонаті?

Короткий розв'язок

1. За теоремою Вієта $x_1 \cdot x_2 = q = 2$. Відповідь: Г.

2. $x(x + 6) = 112 \implies x^2 + 6x - 112 = 0$. Корені: 8 та -14. Натуральні числа: 8 та 14.

3. $x_2 = 15 / 2,5 = 6$; $p = -(2,5 + 6) = -8,5$. Відповідь: $p = -8,5, x_2 = 6$.

4. $\frac{n(n - 1)}{2} = 36 \implies n^2 - n - 72 = 0 \implies n = 9$. Відповідь: 9 команд.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для зведеного квадратного рівняння $x^2 + px + q = 0$ використовуємо теорему Вієта: сума коренів дорівнює $-p$, а добуток — $q$. Для задач про матчі використовуємо модель, де кожна команда з $n$ учасників грає $n-1$ матч, але оскільки в кожній грі беруть участь двоє, загальна кількість ділиться навпіл.

1. У рівнянні $x^2 - 5x + 2 = 0$ вільний член $q = 2$. За теоремою Вієта добуток коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену: $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Відповідь: Г.

2. Нехай одне число $x$, тоді інше — $(x + 6)$. За умовою їх добуток дорівнює 112: $$x(x + 6) = 112 \implies x^2 + 6x - 112 = 0.$$ За теоремою Вієта або дискримінантом: $x_1 = 8$, $x_2 = -14$. Оскільки числа натуральні, беремо $x = 8$. Тоді друге число: $8 + 6 = 14$.
Відповідь: 8; 14.

3. Дано $x^2 + px + 15 = 0$ та $x_1 = 2,5$. За теоремою Вієта: 1) $x_1 \cdot x_2 = 15 \implies 2,5 \cdot x_2 = 15 \implies x_2 = 15 / 2,5 = 6$; 2) $x_1 + x_2 = -p \implies 2,5 + 6 = 8,5$, отже $p = -8,5$.
Відповідь: $p = -8,5, x_2 = 6$.

4. Кількість матчів при $n$ командах розраховується за формулою $\frac{n(n - 1)}{2}$. Складемо рівняння: $$\frac{n(n - 1)}{2} = 36 \implies n^2 - n = 72 \implies n^2 - n - 72 = 0.$$ Корені рівняння: $n_1 = 9$ та $n_2 = -8$. Кількість команд не може бути від'ємною, отже $n = 9$.
Відповідь: 9 команд.