ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Чому дорівнює сума коренів квадратного рівняння $x^2 - 3x - 8 = 0$?
А. 8 Б. -3 В. 3 Г. -8

2. Добуток двох натуральних чисел дорівнює 135, причому одне з них на 6 менше від іншого. Знайдіть ці числа.

3. Один з коренів рівняння $x^2 + 2,5x + q = 0$ дорівнює 3,5. Знайдіть $q$ і другий корінь.

4. У чемпіонаті університету з волейболу було зіграно 66 матчів, причому кожна команда з іншою зіграла по одному разу. Скільки команд узяло участь у цьому чемпіонаті?

Короткий розв'язок

1. За теоремою Вієта $x_1 + x_2 = -(-3) = 3$. Відповідь: В.

2. $x(x - 6) = 135 \implies x^2 - 6x - 135 = 0$. Корені: 15 та -9. Натуральні числа: 15 та 9.

3. $x_2 = -2,5 - 3,5 = -6$; $q = 3,5 \cdot (-6) = -21$. Відповідь: $q = -21, x_2 = -6$.

4. $\frac{n(n - 1)}{2} = 66 \implies n^2 - n - 132 = 0 \implies n = 12$. Відповідь: 12 команд.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо теорему Вієта для зведеного рівняння: сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для задач на кількість матчів застосовуємо формулу комбінаторики (або логічну модель): кожна з $n$ команд грає з $(n-1)$ іншою, а кожен матч рахується двічі.

1. Дано зведене квадратне рівняння $x^2 - 3x - 8 = 0$. За теоремою Вієта сума коренів дорівнює коефіцієнту $p$, взятому з протилежним знаком:
$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$.
Відповідь: В.

2. Нехай більше натуральне число дорівнює $x$, тоді менше дорівнює $x - 6$.
За умовою: $x(x - 6) = 135$;
$x^2 - 6x - 135 = 0$.
За теоремою Вієта: $x_1 = 15, x_2 = -9$.
Оскільки числа натуральні, то $x = 15$. Тоді менше число: $15 - 6 = 9$.
Відповідь: 9; 15.

3. У рівнянні $x^2 + 2,5x + q = 0$ відомо, що $x_1 = 3,5$ та $p = 2,5$.
За теоремою Вієта:
1) $x_1 + x_2 = -p \implies 3,5 + x_2 = -2,5 \implies x_2 = -2,5 - 3,5 = -6$.
2) $x_1 \cdot x_2 = q \implies 3,5 \cdot (-6) = q \implies q = -21$.
Відповідь: $q = -21, x_2 = -6$.

4. Нехай у чемпіонаті брало участь $n$ команд. Тоді загальна кількість матчів обчислюється як:
$\frac{n(n - 1)}{2} = 66$;
$n^2 - n = 132$;
$n^2 - n - 132 = 0$.
За теоремою Вієта: $n_1 = 12, n_2 = -11$.
Кількість команд не може бути від'ємною, тому $n = 12$.
Відповідь: 12 команд.