ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Чому дорівнює сума коренів квадратного рівняння $x^2 + 5x - 7 = 0$?
А. 7 Б. -5 В. 5 Г. -7

2. Одне з двох натуральних чисел на 4 менше від іншого. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 117.

3. Один з коренів рівняння $x^2 - 4,5x + q = 0$ дорівнює 1,5. Знайдіть $q$ і другий корінь.

4. На шаховому турнірі було зіграно 28 партій. Кожний шахіст зіграв з іншим по одному разу. Скільки шахістів узяло участь у цьому турнірі?

Короткий розв'язок

1. За теоремою Вієта $x_1 + x_2 = -5$. Відповідь: Б.

2. $x(x - 4) = 117 \implies x^2 - 4x - 117 = 0$. Корені: 13 та -9. Натуральні числа: 9 та 13.

3. $x_2 = 4,5 - 1,5 = 3$; $q = 1,5 \cdot 3 = 4,5$. Відповідь: $q = 4,5, x_2 = 3$.

4. $\frac{n(n - 1)}{2} = 28 \implies n^2 - n - 56 = 0 \implies n = 8$. Відповідь: 8 шахістів.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо теорему Вієта для зведеного рівняння $x^2 + px + q = 0$, за якою сума коренів дорівнює $-p$, а добуток — $q$. Для прикладних задач на кількість партій чи зустрічей складаємо рівняння, враховуючи, що кожен матч рахується один раз для пари учасників.

1. Розглянемо рівняння $x^2 + 5x - 7 = 0$. За теоремою Вієта сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком: $$x_1 + x_2 = -p = -5.$$ Відповідь: Б.

2. Нехай одне натуральне число дорівнює $x$, тоді інше — $(x - 4)$. Їх добуток дорівнює 117: $$x(x - 4) = 117 \implies x^2 - 4x - 117 = 0.$$ За теоремою Вієта знаходимо корені: $x_1 = 13$, $x_2 = -9$. Оскільки число має бути натуральним, $x = 13$. Тоді інше число: $13 - 4 = 9$. Відповідь: 9; 13.

3. Маємо рівняння $x^2 - 4,5x + q = 0$ та один із коренів $x_1 = 1,5$. Використовуємо теорему Вієта: 1) $x_1 + x_2 = 4,5 \implies 1,5 + x_2 = 4,5 \implies x_2 = 4,5 - 1,5 = 3$; 2) $x_1 \cdot x_2 = q \implies 1,5 \cdot 3 = q \implies q = 4,5$. Відповідь: $q = 4,5, x_2 = 3$.

4. Якщо в турнірі брало участь $n$ шахістів, то кожен зіграв з $(n - 1)$ іншим гравцем. Оскільки кожна партія рахується для двох гравців одночасно, загальна кількість партій дорівнює: $$\frac{n(n - 1)}{2} = 28 \implies n^2 - n = 56 \implies n^2 - n - 56 = 0.$$ За теоремою Вієта корені рівняння: $n_1 = 8$, $n_2 = -7$. Кількість гравців не може бути від'ємною, тому $n = 8$. Відповідь: 8 шахістів.