ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №11 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть число, що є коренем квадратного тричлена $x^2 - 2x - 8$:
А. -1 Б. 2 В. -2 Г. 1
2. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{x^2 + x - 12}{x - 3} = 0$;
2) $x^3 - 81x = 0$.
3. Човен, власна швидкість якого 18 км/год, проплив 20 км за течією і 32 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість течії.
4. Розкладіть многочлен $x^3 - 5x^2 - 6x$ на множники.
Короткий розв'язок
1. $(-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$. Відповідь: В.
2.
1) $x^2 + x - 12 = 0, x \neq 3 \implies (x+4)(x-3)=0 \implies x = -4$;
2) $x(x^2 - 81) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 9, x_3 = -9$.
3. $\frac{20}{18+v} + \frac{32}{18-v} = 3 \implies 3v^2 + 12v - 36 = 0 \implies v = 2$ км/год.
4. $x(x^2 - 5x - 6) = x(x - 6)(x + 1)$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання задач використовуємо властивості квадратного тричлена та алгоритм розв'язання раціональних рівнянь. У текстових задачах на рух пам'ятайте, що час знаходиться як відношення відстані до швидкості, а швидкість за течією (чи проти неї) враховує швидкість власну та швидкість течії.
1. Перевіримо запропоновані числа, підставивши їх у квадратний тричлен. Якщо $x = -2$:
$$(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0.$$
Отже, -2 є коренем тричлена.
Відповідь: В.
2.
1) $\frac{x^2 + x - 12}{x - 3} = 0$. Рівняння має зміст, якщо $x - 3 \neq 0$, тобто $x \neq 3$.
Розв'яжемо чисельник: $x^2 + x - 12 = 0$. За теоремою Вієта $x_1 = -4, x_2 = 3$.
Враховуючи умову $x \neq 3$, маємо один корінь: $x = -4$.
2) $x^3 - 81x = 0 \implies x(x^2 - 81) = 0 \implies x(x - 9)(x + 9) = 0$.
Звідси $x_1 = 0, x_2 = 9, x_3 = -9$.
Відповідь: 1) -4; 2) 0; 9; -9.
3. Нехай $v$ — швидкість течії (км/год). Тоді швидкість за течією становить $(18 + v)$ км/год, а проти течії — $(18 - v)$ км/год.
Складемо рівняння за часом:
$$\frac{20}{18 + v} + \frac{32}{18 - v} = 3.$$
Помножимо на $(18+v)(18-v)$:
$$20(18 - v) + 32(18 + v) = 3(324 - v^2);$$
$$360 - 20v + 576 + 32v = 972 - 3v^2 \implies 3v^2 + 12v - 36 = 0 \implies v^2 + 4v - 12 = 0.$$
Корені рівняння: $v_1 = 2, v_2 = -6$. Оскільки швидкість не може бути від'ємною, $v = 2$ км/год.
Відповідь: 2 км/год.
4. Винесемо спільний множник за дужки: $x^3 - 5x^2 - 6x = x(x^2 - 5x - 6)$.
Розкладемо тричлен у дужках: корені рівняння $x^2 - 5x - 6 = 0$ за теоремою Вієта дорівнюють $x_1 = 6, x_2 = -1$.
Отже, $x(x^2 - 5x - 6) = x(x - 6)(x + 1)$.
Відповідь: $x(x - 6)(x + 1)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.