ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №11 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть число, що є коренем квадратного тричлена $x^2 - 2x - 15$:
А. 1 Б. -3 В. 3 Г. -1

2. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{x^2 - x - 12}{x - 4} = 0$;
2) $x^3 - 16x = 0$.

3. Катер, власна швидкість якого 15 км/год, проплив 18 км за течією і 24 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість течії.

4. Розкладіть многочлен $x^3 + 5x^2 - 6x$ на множники.

Короткий розв'язок

1. $(-3)^2 - 2(-3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$. Відповідь: Б.

2.
1) $x^2 - x - 12 = 0, x \neq 4 \implies (x-4)(x+3)=0 \implies x = -3$;
2) $x(x^2 - 16) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = -4$.

3. $\frac{18}{15+v} + \frac{24}{15-v} = 3 \implies v^2 + 2v - 15 = 0 \implies v = 3$ км/год.

4. $x(x^2 + 5x - 6) = x(x + 6)(x - 1)$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для пошуку коренів квадратного тричлена прирівнюємо його до нуля. При розв'язанні раціональних рівнянь враховуємо ОДЗ (знаменник не дорівнює нулю). У задачах на рух по воді швидкість за течією є сумою власної швидкості та швидкості течії, а проти течії — їх різницею.

1. Перевіримо число -3, підставивши його замість $x$ у вираз $x^2 - 2x - 15$: $$(-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0.$$ Оскільки значення тричлена дорівнює нулю, то -3 є його коренем.
Відповідь: Б.

2.
1) $\frac{x^2 - x - 12}{x - 4} = 0$. Умова існування дробу: $x - 4 \neq 0$, тобто $x \neq 4$. Розв'яжемо рівняння $x^2 - x - 12 = 0$. За теоремою Вієта корені дорівнюють $x_1 = 4, x_2 = -3$. Оскільки за ОДЗ $x \neq 4$, то залишається лише один корінь: $x = -3$.
2) $x^3 - 16x = 0$. Винесемо спільний множник за дужки: $$x(x^2 - 16) = 0 \implies x(x - 4)(x + 4) = 0.$$ Звідси $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.
Відповідь: 1) -3; 2) 0; 4; -4.

3. Нехай $v$ км/год — швидкість течії річки. Тоді швидкість катера за течією дорівнює $(15 + v)$ км/год, а проти течії — $(15 - v)$ км/год. Складемо рівняння для загального часу руху: $$\frac{18}{15 + v} + \frac{24}{15 - v} = 3.$$ Поділимо обидві частини на 3: $$\frac{6}{15 + v} + \frac{8}{15 - v} = 1.$$ Зведемо до спільного знаменника: $$6(15 - v) + 8(15 + v) = (15 + v)(15 - v);$$ $$90 - 6v + 120 + 8v = 225 - v^2 \implies v^2 + 2v - 15 = 0.$$ За теоремою Вієта $v_1 = 3, v_2 = -5$. Швидкість течії є додатним числом, тому $v = 3$ км/год.
Відповідь: 3 км/год.

4. Спочатку винесемо $x$ за дужки: $x^3 + 5x^2 - 6x = x(x^2 + 5x - 6)$. Розкладемо на множники квадратний тричлен у дужках. Коренями рівняння $x^2 + 5x - 6 = 0$ є числа $x_1 = 1$ та $x_2 = -6$. Використовуємо формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$: $$x(x^2 + 5x - 6) = x(x - 1)(x + 6).$$
Відповідь: $x(x - 1)(x + 6)$.