ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №11 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть число, що є коренем квадратного тричлена $x^2 - 2x - 24$:
А. -4 Б. 4 В. -1 Г. 1

2. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{x^2 - x - 20}{x - 5} = 0$;
2) $4x - x^3 = 0$.

3. Катер, власна швидкість якого 17 км/год, проплив 19 км за течією і 45 км проти течії, витративши на весь шлях 4 год. Знайдіть швидкість течії.

4. Розкладіть многочлен $x^3 + 6x^2 - 7x$ на множники.

Короткий розв'язок

1. $(-4)^2 - 2(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0$. Відповідь: А.

2.
1) $x^2 - x - 20 = 0, x \neq 5 \implies (x-5)(x+4)=0 \implies x = -4$;
2) $x(4 - x^2) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -2$.

3. $\frac{19}{17+v} + \frac{45}{17-v} = 4 \implies 2v^2 + 13v - 34 = 0 \implies v = 2$ км/год.

4. $x(x^2 + 6x - 7) = x(x + 7)(x - 1)$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для пошуку коренів квадратного тричлена необхідно прирівняти його до нуля. При розв'язанні раціональних рівнянь обов'язково враховуємо область допустимих значень (знаменник не дорівнює нулю). Задачі на рух річкою розв'язуються за допомогою складання рівнянь, де враховується вплив швидкості течії на швидкість катера.

1. Число є коренем квадратного тричлена, якщо при його підстановці значення виразу дорівнює нулю. Перевіримо число -4: $$(-4)^2 - 2 \cdot (-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0.$$ Отже, -4 є коренем тричлена.
Відповідь: А.

2.
1) $\frac{x^2 - x - 20}{x - 5} = 0$. Умова існування виразу: $x - 5 \neq 0$, отже $x \neq 5$. Розв'яжемо рівняння для чисельника: $x^2 - x - 20 = 0$. Корені за теоремою Вієта: $x_1 = 5, x_2 = -4$. Оскільки $x \neq 5$, рівняння має лише один корінь: $x = -4$.
2) $4x - x^3 = 0 \implies x(4 - x^2) = 0 \implies x(2 - x)(2 + x) = 0$. Звідси маємо три корені: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -2$.
Відповідь: 1) -4; 2) 0; 2; -2.

3. Нехай $v$ км/год — швидкість течії. Тоді швидкість катера за течією $(17 + v)$ км/год, а проти течії — $(17 - v)$ км/год. Складемо рівняння за часом: $$\frac{19}{17 + v} + \frac{45}{17 - v} = 4.$$ Зведемо до спільного знаменника: $$19(17 - v) + 45(17 + v) = 4(289 - v^2);$$ $$323 - 19v + 765 + 45v = 1156 - 4v^2 \implies 4v^2 + 26v - 68 = 0.$$ Спростимо: $2v^2 + 13v - 34 = 0$. $D = 169 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 169 + 272 = 441 = 21^2$. $v = \frac{-13 + 21}{4} = 2$ км/год.
Відповідь: 2 км/год.

4. Винесемо спільний множник за дужки: $x^3 + 6x^2 - 7x = x(x^2 + 6x - 7)$. Розкладемо на множники квадратний тричлен $x^2 + 6x - 7$. Корені рівняння $x^2 + 6x - 7 = 0$ дорівнюють $x_1 = 1$ та $x_2 = -7$. Отже: $x(x^2 + 6x - 7) = x(x - 1)(x + 7)$.
Відповідь: $x(x - 1)(x + 7)$.