ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 1)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть суму:
$\frac{8p^2}{y} + \frac{3p^2}{y}$
А) $\frac{11p^2}{y}$; Б) $\frac{11p^2}{2y}$; В) $\frac{11p^4}{y}$; Г) $\frac{5p^2}{y}$.
2. Виконайте дію:
1) $\frac{x+y}{6} - \frac{x-3y}{6}$; 2) $\frac{a}{3b} + \frac{a-5b}{15b}$; 3) $\frac{8}{p^2+4p} + \frac{2}{p}$.
3. Знайдіть значення виразу $\frac{a^2+4b^2}{a-2b} - \frac{4ab}{a-2b}$, якщо $a = 2026, b = \frac{1}{2}$.
4. Доведіть тотожність: $\frac{9x-1,5y}{9x^2+1,5xy} - \frac{9x+1,5y}{9x^2-1,5xy} + \frac{36x}{9x^2-0,25y^2} = \frac{24}{6x+y}$.
Короткий розв'язок
1. А) $\frac{11p^2}{y}$
2. 1) $\frac{2y}{3}$; 2) $\frac{6a-5b}{15b}$; 3) $\frac{2(p+8)}{p(p+4)}$
3. 2025
4. Тотожність доведено.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо правила додавання та віднімання дробів з однаковими та різними знаменниками, а також використаємо формули скороченого множення для спрощення виразів.
1. Знайдіть суму.
Оскільки знаменники дробів однакові, додаємо їх чисельники:
$\frac{8p^2}{y} + \frac{3p^2}{y} = \frac{8p^2+3p^2}{y} = \frac{11p^2}{y}$
Відповідь: А.
2. Виконайте дію.
1) $\frac{x+y}{6} - \frac{x-3y}{6} = \frac{x+y-(x-3y)}{6} = \frac{x+y-x+3y}{6} = \frac{4y}{6} = \frac{2y}{3}$
2) Зведемо дроби до спільного знаменника $15b$:
$\frac{a}{3b} + \frac{a-5b}{15b} = \frac{5 \cdot a}{15b} + \frac{a-5b}{15b} = \frac{5a+a-5b}{15b} = \frac{6a-5b}{15b}$
3) Розкладемо знаменник першого дробу на множники: $p^2+4p = p(p+4)$. Спільний знаменник: $p(p+4)$.
$\frac{8}{p(p+4)} + \frac{2}{p} = \frac{8}{p(p+4)} + \frac{2(p+4)}{p(p+4)} = \frac{8+2p+8}{p(p+4)} = \frac{2p+16}{p(p+4)} = \frac{2(p+8)}{p(p+4)}$
3. Знайдіть значення виразу.
Спершу спростимо вираз:
$\frac{a^2+4b^2}{a-2b} - \frac{4ab}{a-2b} = \frac{a^2-4ab+4b^2}{a-2b}$
Чисельник є повним квадратом різниці: $a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)^2$.
$\frac{(a-2b)^2}{a-2b} = a-2b$
Тепер підставимо значення $a=2026$ і $b=1/2$:
$2026 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2026 - 1 = 2025$
Відповідь: 2025.
4. Доведіть тотожність.
Перетворимо ліву частину рівності. Спочатку виконаємо віднімання перших двох дробів.
$\frac{9x-1,5y}{9x^2+1,5xy} - \frac{9x+1,5y}{9x^2-1,5xy} = \frac{9x-1,5y}{1,5x(6x+y)} - \frac{9x+1,5y}{1,5x(6x-y)}$
Спільний знаменник: $1,5x(6x+y)(6x-y) = 1,5x(36x^2-y^2)$.
$= \frac{(9x-1,5y)(6x-y) - (9x+1,5y)(6x+y)}{1,5x(36x^2-y^2)}$
Розкриємо дужки в чисельнику:
$(54x^2 - 9xy - 9xy + 1,5y^2) - (54x^2 + 9xy + 9xy + 1,5y^2)$
$= (54x^2 - 18xy + 1,5y^2) - (54x^2 + 18xy + 1,5y^2)$
$= 54x^2 - 18xy + 1,5y^2 - 54x^2 - 18xy - 1,5y^2 = -36xy$
Підставимо отриманий чисельник у дріб:
$\frac{-36xy}{1,5x(36x^2-y^2)} = \frac{-24y}{36x^2-y^2}$
Тепер додамо третій дріб з умови:
$\frac{-24y}{36x^2-y^2} + \frac{36x}{9x^2-0,25y^2}$
Помножимо чисельник і знаменник другого дробу на 4, щоб позбутися десяткового дробу:
$\frac{36x \cdot 4}{(9x^2-0,25y^2)\cdot 4} = \frac{144x}{36x^2-y^2}$
Додаємо дроби:
$\frac{-24y}{36x^2-y^2} + \frac{144x}{36x^2-y^2} = \frac{144x-24y}{36x^2-y^2}$
Винесемо спільний множник у чисельнику та розкладемо знаменник за формулою різниці квадратів:
$\frac{24(6x-y)}{(6x-y)(6x+y)} = \frac{24}{6x+y}$
Отриманий вираз дорівнює правій частині тотожності. Тотожність доведено.
Висновок: Тотожність є правильною.
