ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть суму:
$\frac{7m^2}{a} + \frac{4m^2}{a}$
А) $\frac{11m^2}{a}$; Б) $\frac{3m^2}{a}$; В) $\frac{11m^2}{2a}$; Г) $\frac{11m^4}{a}$.
2. Виконайте дію:
1) $\frac{2x+y}{8} - \frac{y-4x}{8}$; 2) $\frac{m+3}{5m} - \frac{8-3t}{15t}$; 3) $\frac{20}{a^2+4a} - \frac{5}{a}$.
3. Знайдіть значення виразу $\frac{m^2+36p^2}{m-6p} + \frac{12mp}{6p-m}$, якщо $m = 2025, p = \frac{1}{6}$.
4. Доведіть тотожність: $\frac{9a+1,5b}{9a^2-1,5ab} - \frac{9a-1,5b}{9a^2+1,5ab} + \frac{36a}{9a^2-0,25b^2} = \frac{24}{6a-b}$.
Короткий розв'язок
1. А) $\frac{11m^2}{a}$
2. 1) $\frac{3x}{4}$; 2) $\frac{6mt+9t-8m}{15mt}$; 3) $\frac{-5}{a+4}$
3. 2024
4. Тотожність доведено.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо правила додавання та віднімання дробів, а також використаємо формули скороченого множення для спрощення виразів.
1. Знайдіть суму.
Оскільки знаменники дробів однакові, додаємо їх чисельники:
$\frac{7m^2}{a} + \frac{4m^2}{a} = \frac{7m^2+4m^2}{a} = \frac{11m^2}{a}$
Відповідь: А.
2. Виконайте дію.
1) $\frac{2x+y}{8} - \frac{y-4x}{8} = \frac{2x+y-(y-4x)}{8} = \frac{2x+y-y+4x}{8} = \frac{6x}{8} = \frac{3x}{4}$
2) Зведемо дроби до спільного знаменника $15mt$:
$\frac{m+3}{5m} - \frac{8-3t}{15t} = \frac{3t(m+3)}{15mt} - \frac{m(8-3t)}{15mt} = \frac{3mt+9t-(8m-3mt)}{15mt} = \frac{3mt+9t-8m+3mt}{15mt} = \frac{6mt+9t-8m}{15mt}$
3) Розкладемо знаменник першого дробу: $a^2+4a = a(a+4)$. Спільний знаменник: $a(a+4)$.
$\frac{20}{a(a+4)} - \frac{5}{a} = \frac{20}{a(a+4)} - \frac{5(a+4)}{a(a+4)} = \frac{20 - (5a+20)}{a(a+4)} = \frac{20-5a-20}{a(a+4)} = \frac{-5a}{a(a+4)} = \frac{-5}{a+4}$
3. Знайдіть значення виразу.
Спершу спростимо вираз. Звернемо увагу, що $6p-m = -(m-6p)$.
$\frac{m^2+36p^2}{m-6p} + \frac{12mp}{-(m-6p)} = \frac{m^2+36p^2}{m-6p} - \frac{12mp}{m-6p} = \frac{m^2-12mp+36p^2}{m-6p}$
Чисельник є повним квадратом різниці: $m^2-12mp+36p^2 = (m-6p)^2$.
$\frac{(m-6p)^2}{m-6p} = m-6p$
Тепер підставимо значення $m=2025$ і $p=1/6$:
$2025 - 6 \cdot \frac{1}{6} = 2025 - 1 = 2024$
Відповідь: 2024.
4. Доведіть тотожність.
Перетворимо ліву частину рівності. Спочатку виконаємо віднімання перших двох дробів.
$\frac{9a+1,5b}{9a^2-1,5ab} - \frac{9a-1,5b}{9a^2+1,5ab} = \frac{9a+1,5b}{1,5a(6a-b)} - \frac{9a-1,5b}{1,5a(6a+b)}$
Спільний знаменник: $1,5a(6a-b)(6a+b) = 1,5a(36a^2-b^2)$.
$= \frac{(9a+1,5b)(6a+b) - (9a-1,5b)(6a-b)}{1,5a(36a^2-b^2)}$
Розкриємо дужки в чисельнику:
$(54a^2 + 9ab + 9ab + 1,5b^2) - (54a^2 - 9ab - 9ab + 1,5b^2)$
$= (54a^2 + 18ab + 1,5b^2) - (54a^2 - 18ab + 1,5b^2) = 36ab$
Підставимо отриманий чисельник у дріб:
$\frac{36ab}{1,5a(36a^2-b^2)} = \frac{24b}{36a^2-b^2}$
Тепер додамо третій дріб з умови. Помножимо його чисельник і знаменник на 4:
$\frac{36a \cdot 4}{(9a^2-0,25b^2)\cdot 4} = \frac{144a}{36a^2-b^2}$
Додаємо дроби:
$\frac{24b}{36a^2-b^2} + \frac{144a}{36a^2-b^2} = \frac{144a+24b}{36a^2-b^2}$
Винесемо спільний множник у чисельнику та розкладемо знаменник:
$\frac{24(6a+b)}{(6a-b)(6a+b)} = \frac{24}{6a-b}$
Отриманий вираз дорівнює правій частині тотожності. Тотожність доведено.
