ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 2)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть суму:
$\frac{9a^2}{b} + \frac{4a^2}{b}$
А) $\frac{13a^2}{2b}$; Б) $\frac{13a^4}{b}$; В) $\frac{5a^2}{b}$; Г) $\frac{13a^2}{b}$.
2. Виконайте дію:
1) $\frac{a+b}{8} - \frac{a-5b}{8}$; 2) $\frac{b+2}{4b} + \frac{5-3c}{12c}$; 3) $\frac{10}{m^2+5m} - \frac{2}{m}$.
3. Знайдіть значення виразу $\frac{x^2+25y^2}{x-5y} + \frac{10xy}{5y-x}$, якщо $x = 2027, y = \frac{1}{5}$.
4. Доведіть тотожність: $\frac{15x-2,5y}{9x^2+1,5xy} - \frac{15x+2,5y}{9x^2-1,5xy} + \frac{60x}{9x^2-0,25y^2} = \frac{40}{6x+y}$.
Короткий розв'язок
1. Г) $\frac{13a^2}{b}$
2. 1) $\frac{3b}{4}$; 2) $\frac{6c+5b}{12bc}$; 3) $\frac{-2}{m+5}$
3. 2028
4. Тотожність доведено.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо правила додавання та віднімання дробів, а також використаємо формули скороченого множення для спрощення виразів.
1. Знайдіть суму.
Оскільки знаменники дробів однакові, додаємо їх чисельники:
$\frac{9a^2}{b} + \frac{4a^2}{b} = \frac{9a^2+4a^2}{b} = \frac{13a^2}{b}$
Відповідь: Г.
2. Виконайте дію.
1) $\frac{a+b}{8} - \frac{a-5b}{8} = \frac{a+b-(a-5b)}{8} = \frac{a+b-a+5b}{8} = \frac{6b}{8} = \frac{3b}{4}$
2) Зведемо дроби до спільного знаменника $12bc$:
$\frac{b+2}{4b} + \frac{5-3c}{12c} = \frac{3c(b+2)}{12bc} + \frac{b(5-3c)}{12bc} = \frac{3bc+6c+5b-3bc}{12bc} = \frac{6c+5b}{12bc}$
3) Розкладемо знаменник першого дробу: $m^2+5m = m(m+5)$. Спільний знаменник: $m(m+5)$.
$\frac{10}{m(m+5)} - \frac{2}{m} = \frac{10}{m(m+5)} - \frac{2(m+5)}{m(m+5)} = \frac{10 - (2m+10)}{m(m+5)} = \frac{10-2m-10}{m(m+5)} = \frac{-2m}{m(m+5)} = \frac{-2}{m+5}$
3. Знайдіть значення виразу.
Спершу спростимо вираз. Звернемо увагу, що $5y-x = -(x-5y)$.
$\frac{x^2+25y^2}{x-5y} + \frac{10xy}{-(x-5y)} = \frac{x^2+25y^2}{x-5y} - \frac{10xy}{x-5y} = \frac{x^2-10xy+25y^2}{x-5y}$
Чисельник є повним квадратом різниці: $x^2-10xy+25y^2 = (x-5y)^2$.
$\frac{(x-5y)^2}{x-5y} = x-5y$
Тепер підставимо значення $x=2027$ і $y=1/5$:
$2027 + 5 \cdot \frac{1}{5} = 2027 + 1 = 2028$
Відповідь: 2028.
4. Доведіть тотожність.
Перетворимо ліву частину рівності. Спочатку виконаємо віднімання перших двох дробів.
$\frac{15x-2,5y}{9x^2+1,5xy} - \frac{15x+2,5y}{9x^2-1,5xy} = \frac{15x-2,5y}{1,5x(6x+y)} - \frac{15x+2,5y}{1,5x(6x-y)}$
Спільний знаменник: $1,5x(6x+y)(6x-y) = 1,5x(36x^2-y^2)$.
$= \frac{(15x-2,5y)(6x-y) - (15x+2,5y)(6x+y)}{1,5x(36x^2-y^2)}$
Розкриємо дужки в чисельнику:
$(90x^2 - 15xy - 15xy + 2,5y^2) - (90x^2 + 15xy + 15xy + 2,5y^2)$
$= (90x^2 - 30xy + 2,5y^2) - (90x^2 + 30xy + 2,5y^2) = -60xy$
Підставимо отриманий чисельник у дріб:
$\frac{-60xy}{1,5x(36x^2-y^2)} = \frac{-40y}{36x^2-y^2}$
Тепер додамо третій дріб з умови:
$\frac{-40y}{36x^2-y^2} + \frac{60x}{9x^2-0,25y^2}$
Помножимо чисельник і знаменник другого дробу на 4:
$\frac{60x \cdot 4}{(9x^2-0,25y^2)\cdot 4} = \frac{240x}{36x^2-y^2}$
Додаємо дроби:
$\frac{-40y}{36x^2-y^2} + \frac{240x}{36x^2-y^2} = \frac{240x-40y}{36x^2-y^2}$
Винесемо спільний множник у чисельнику та розкладемо знаменник:
$\frac{40(6x-y)}{(6x-y)(6x+y)} = \frac{40}{6x+y}$
Отриманий вираз дорівнює правій частині тотожності. Тотожність доведено.
