ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 4)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть суму:
$\frac{5x^2}{y} + \frac{2x^2}{y}$
А) $\frac{7x^2}{2y}$; Б) $\frac{7x^2}{y}$; В) $\frac{7x^4}{y}$; Г) $\frac{3x^2}{y}$.
2. Виконайте дію:
1) $\frac{3p+m}{10} - \frac{m-5p}{10}$; 2) $\frac{a+2}{4a} + \frac{7-5b}{20b}$; 3) $\frac{15}{x^2+3x} - \frac{5}{x}$.
3. Знайдіть значення виразу $\frac{x^2+49y^2}{x-7y} + \frac{14xy}{7y-x}$, якщо $x = 2028, y = \frac{1}{7}$.
4. Доведіть тотожність: $\frac{15a+2,5b}{9a^2-1,5ab} - \frac{15a-2,5b}{9a^2+1,5ab} + \frac{60a}{9a^2-0,25b^2} = \frac{40}{6a-b}$.
Короткий розв'язок
1. Б) $\frac{7x^2}{y}$
2. 1) $\frac{4p}{5}$; 2) $\frac{7a+10b}{20ab}$; 3) $\frac{-5}{x+3}$
3. 2027
4. Тотожність доведено.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо правила додавання та віднімання дробів, а також використаємо формули скороченого множення для спрощення виразів.
1. Знайдіть суму.
Оскільки знаменники дробів однакові, додаємо їх чисельники:
$\frac{5x^2}{y} + \frac{2x^2}{y} = \frac{5x^2+2x^2}{y} = \frac{7x^2}{y}$
Відповідь: Б.
2. Виконайте дію.
1) $\frac{3p+m}{10} - \frac{m-5p}{10} = \frac{3p+m-(m-5p)}{10} = \frac{3p+m-m+5p}{10} = \frac{8p}{10} = \frac{4p}{5}$
2) Зведемо дроби до спільного знаменника $20ab$:
$\frac{a+2}{4a} + \frac{7-5b}{20b} = \frac{5b(a+2)}{20ab} + \frac{a(7-5b)}{20ab} = \frac{5ab+10b+7a-5ab}{20ab} = \frac{7a+10b}{20ab}$
3) Розкладемо знаменник першого дробу: $x^2+3x = x(x+3)$. Спільний знаменник: $x(x+3)$.
$\frac{15}{x(x+3)} - \frac{5}{x} = \frac{15}{x(x+3)} - \frac{5(x+3)}{x(x+3)} = \frac{15 - (5x+15)}{x(x+3)} = \frac{15-5x-15}{x(x+3)} = \frac{-5x}{x(x+3)} = \frac{-5}{x+3}$
3. Знайдіть значення виразу.
Спершу спростимо вираз. Звернемо увагу, що $7y-x = -(x-7y)$.
$\frac{x^2+49y^2}{x-7y} + \frac{14xy}{-(x-7y)} = \frac{x^2+49y^2}{x-7y} - \frac{14xy}{x-7y} = \frac{x^2-14xy+49y^2}{x-7y}$
Чисельник є повним квадратом різниці: $x^2-14xy+49y^2 = (x-7y)^2$.
$\frac{(x-7y)^2}{x-7y} = x-7y$
Тепер підставимо значення $x=2028$ і $y=1/7$:
$2028 - 7 \cdot \frac{1}{7} = 2028 - 1 = 2027$
Відповідь: 2027.
4. Доведіть тотожність.
Перетворимо ліву частину рівності. Спочатку виконаємо віднімання перших двох дробів.
$\frac{15a+2,5b}{9a^2-1,5ab} - \frac{15a-2,5b}{9a^2+1,5ab} = \frac{15a+2,5b}{1,5a(6a-b)} - \frac{15a-2,5b}{1,5a(6a+b)}$
Спільний знаменник: $1,5a(6a-b)(6a+b) = 1,5a(36a^2-b^2)$.
$= \frac{(15a+2,5b)(6a+b) - (15a-2,5b)(6a-b)}{1,5a(36a^2-b^2)}$
Розкриємо дужки в чисельнику:
$(90a^2 + 15ab + 15ab + 2,5b^2) - (90a^2 - 15ab - 15ab + 2,5b^2)$
$= (90a^2 + 30ab + 2,5b^2) - (90a^2 - 30ab + 2,5b^2) = 60ab$
Підставимо отриманий чисельник у дріб:
$\frac{60ab}{1,5a(36a^2-b^2)} = \frac{40b}{36a^2-b^2}$
Тепер додамо третій дріб з умови. Помножимо його чисельник і знаменник на 4:
$\frac{60a \cdot 4}{(9a^2-0,25b^2)\cdot 4} = \frac{240a}{36a^2-b^2}$
Додаємо дроби:
$\frac{40b}{36a^2-b^2} + \frac{240a}{36a^2-b^2} = \frac{240a+40b}{36a^2-b^2}$
Винесемо спільний множник у чисельнику та розкладемо знаменник:
$\frac{40(6a+b)}{(6a-b)(6a+b)} = \frac{40}{6a-b}$
Отриманий вираз дорівнює правій частині тотожності. Тотожність доведено.
