ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 1)

1. Знайдіть корені рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$x+3=0 \implies x = -3$.
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Корінь рівняння $x = -3$.

Відповідь: А.

2. Спростіть вираз.

Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $3a$:

$(\frac{a}{3} + \frac{3}{a} + 2) = \frac{a \cdot a}{3a} + \frac{3 \cdot 3}{3a} + \frac{2 \cdot 3a}{3a} = \frac{a^2+9+6a}{3a} = \frac{(a+3)^2}{3a}$

Тепер помножимо результат:

$\frac{(a+3)^2}{3a} \cdot \frac{1}{a+3} = \frac{a+3}{3a}$

3. Розв'яжіть рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ): $x^2+3x \neq 0 \implies x(x+3) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -3$.

Розкладемо на множники знаменник у лівій частині: $\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{x-3}{x}$.

Рівняння набуває вигляду: $\frac{x-3}{x} = \frac{x-3}{x} + \frac{x+2}{x+3}$.

Віднімемо від обох частин рівняння дріб $\frac{x-3}{x}$:

$0 = \frac{x+2}{x+3}$.

Це рівняння рівносильне системі: $x+2=0$ і $x+3 \neq 0$.

$x = -2$.

Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.

Відповідь: -2.

4. Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної.

Спростимо вираз у перших дужках. Спільний знаменник $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

$\frac{x}{x+3} + \frac{3}{x-3} + \frac{6x}{x^2-9} = \frac{x(x-3) + 3(x+3) + 6x}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-3x+3x+9+6x}{x^2-9} = \frac{x^2+6x+9}{x^2-9} = \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3}{x-3}$

Спростимо вираз у других дужках:

$\frac{x}{x+3} + \frac{3}{x-3} - \frac{6x}{x^2-9} = \frac{x(x-3) + 3(x+3) - 6x}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-3x+3x+9-6x}{x^2-9} = \frac{x^2-6x+9}{x^2-9} = \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{x+3}$

Тепер перемножимо отримані вирази:

$\frac{x+3}{x-3} \cdot \frac{x-3}{x+3} = 1$

Значення виразу дорівнює 1, отже, воно не залежить від значення змінної $x$.