ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 2)

1. Знайдіть корені рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$x+4=0 \implies x = -4$.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Корінь рівняння $x = -4$.

Відповідь: Б.

2. Спростіть вираз.

Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $5x$:

$(\frac{x}{5} + \frac{5}{x} - 2) = \frac{x \cdot x}{5x} + \frac{5 \cdot 5}{5x} - \frac{2 \cdot 5x}{5x} = \frac{x^2+25-10x}{5x} = \frac{(x-5)^2}{5x}$

Тепер помножимо результат:

$\frac{(x-5)^2}{5x} \cdot \frac{1}{x-5} = \frac{x-5}{5x}$

3. Розв'яжіть рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ): $x^2-2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 2$.

Розкладемо на множники знаменник у лівій частині: $\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x}$.

Рівняння набуває вигляду: $\frac{x+2}{x} = \frac{x+2}{x} + \frac{x+3}{x-2}$.

Віднімемо від обох частин рівняння дріб $\frac{x+2}{x}$:

$0 = \frac{x+3}{x-2}$.

Це рівняння рівносильне системі: $x+3=0$ і $x-2 \neq 0$.

$x = -3$.

Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.

Відповідь: -3.

4. Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної.

Позначимо $A = \frac{y}{y+2} + \frac{2}{y-2}$ і $B = \frac{4y}{y^2-4}$. Тоді вираз має вигляд $(A-B)(A+B)$, що є формулою різниці квадратів $A^2-B^2$.

Спростимо $A$:

$A = \frac{y(y-2) + 2(y+2)}{(y+2)(y-2)} = \frac{y^2-2y+2y+4}{y^2-4} = \frac{y^2+4}{y^2-4}$

Тепер підставимо $A$ і $B$ у формулу $A^2-B^2$:

$(\frac{y^2+4}{y^2-4})^2 - (\frac{4y}{y^2-4})^2 = \frac{(y^2+4)^2 - (4y)^2}{(y^2-4)^2}$

У чисельнику також різниця квадратів:

$\frac{(y^2+4-4y)(y^2+4+4y)}{(y^2-4)^2} = \frac{(y-2)^2(y+2)^2}{((y-2)(y+2))^2} = \frac{((y-2)(y+2))^2}{((y-2)(y+2))^2} = 1$

Значення виразу дорівнює 1, отже, воно не залежить від значення змінної $y$.