ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 4)

1. Знайдіть корені рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$x+2=0 \implies x = -2$.
$x-7 \neq 0 \implies x \neq 7$.
Корінь рівняння $x = -2$.

Відповідь: В.

2. Спростіть вираз.

Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $6b$:

$(\frac{b}{6} + \frac{6}{b} + 2) = \frac{b \cdot b}{6b} + \frac{6 \cdot 6}{6b} + \frac{2 \cdot 6b}{6b} = \frac{b^2+36+12b}{6b} = \frac{(b+6)^2}{6b}$

Тепер помножимо результат:

$\frac{(b+6)^2}{6b} \cdot \frac{1}{b+6} = \frac{b+6}{6b}$

3. Розв'яжіть рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ): $x^2+4x \neq 0 \implies x(x+4) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -4$.

Розкладемо на множники знаменник у лівій частині: $\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)} = \frac{x-4}{x}$.

Рівняння набуває вигляду: $\frac{x-4}{x} = \frac{x-4}{x} + \frac{x+7}{x+4}$.

Віднімемо від обох частин рівняння дріб $\frac{x-4}{x}$:

$0 = \frac{x+7}{x+4}$.

Це рівняння рівносильне системі: $x+7=0$ і $x+4 \neq 0$.

$x = -7$.

Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.

Відповідь: -7.

4. Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної.

Вираз має вигляд $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$, де $A = \frac{b}{b+4} + \frac{4}{b-4}$ і $B = \frac{8b}{b^2-16}$.

Спростимо $A$:

$A = \frac{b(b-4) + 4(b+4)}{(b+4)(b-4)} = \frac{b^2-4b+4b+16}{b^2-16} = \frac{b^2+16}{b^2-16}$

Тепер обчислимо $A^2-B^2$:

$(\frac{b^2+16}{b^2-16})^2 - (\frac{8b}{b^2-16})^2 = \frac{(b^2+16)^2 - (8b)^2}{(b^2-16)^2}$

Застосуємо в чисельнику формулу різниці квадратів:

$\frac{(b^2+16-8b)(b^2+16+8b)}{(b^2-16)^2} = \frac{(b-4)^2(b+4)^2}{((b-4)(b+4))^2} = \frac{((b-4)(b+4))^2}{((b-4)(b+4))^2} = 1$

Значення виразу дорівнює 1, отже, воно не залежить від значення змінної $b$.