ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 3)

1. Знайдіть корені рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$x+5=0 \implies x = -5$.
$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Корінь рівняння $x = -5$.

Відповідь: Г.

2. Спростіть вираз.

Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $4x$:

$(\frac{x}{4} + \frac{4}{x} - 2) = \frac{x \cdot x}{4x} + \frac{4 \cdot 4}{4x} - \frac{2 \cdot 4x}{4x} = \frac{x^2+16-8x}{4x} = \frac{(x-4)^2}{4x}$

Тепер помножимо результат:

$\frac{(x-4)^2}{4x} \cdot \frac{1}{x-4} = \frac{x-4}{4x}$

3. Розв'яжіть рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ): $x^2+5x \neq 0 \implies x(x+5) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -5$.

Розкладемо на множники знаменник у лівій частині: $\frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)} = \frac{x-5}{x}$.

Рівняння набуває вигляду: $\frac{x-5}{x} = \frac{x-5}{x} + \frac{x+3}{x+5}$.

Віднімемо від обох частин рівняння дріб $\frac{x-5}{x}$:

$0 = \frac{x+3}{x+5}$.

Це рівняння рівносильне системі: $x+3=0$ і $x+5 \neq 0$.

$x = -3$.

Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.

Відповідь: -3.

4. Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної.

Вираз має вигляд $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$, де $A = \frac{a}{a+5} + \frac{5}{a-5}$ і $B = \frac{10a}{a^2-25}$.

Спростимо $A$:

$A = \frac{a(a-5) + 5(a+5)}{(a+5)(a-5)} = \frac{a^2-5a+5a+25}{a^2-25} = \frac{a^2+25}{a^2-25}$

Тепер обчислимо $A^2-B^2$:

$(\frac{a^2+25}{a^2-25})^2 - (\frac{10a}{a^2-25})^2 = \frac{(a^2+25)^2 - (10a)^2}{(a^2-25)^2}$

Застосуємо в чисельнику формулу різниці квадратів:

$\frac{(a^2+25-10a)(a^2+25+10a)}{(a^2-25)^2} = \frac{(a-5)^2(a+5)^2}{((a-5)(a+5))^2} = \frac{((a-5)(a+5))^2}{((a-5)(a+5))^2} = 1$

Значення виразу дорівнює 1, отже, воно не залежить від значення змінної $a$.