ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $15\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = ...$
А. $3\sqrt{3}$ Б. $10\sqrt{3}$ В. $20\sqrt{3}$ Г. $10\sqrt{9}$

2. Обчисліть:
1) $-2\sqrt{(-5)^2}$;
2) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}}$;
3) $(\sqrt{11} - \sqrt{19})(\sqrt{11} + \sqrt{19})$.

3. Розв'яжіть рівняння $\sqrt{x} = 2x - 6$ графічно.

4. Спростіть вираз $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 - \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}$.

Короткий розв'язок

1. $(15-5)\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$. Відповідь: Б.

2.

$$1) -2 \cdot |-5| = -2 \cdot 5 = -10.$$

$$2) \sqrt{\frac{2 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 5 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0,4.$$

$$3) (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{19})^2 = 11 - 19 = -8.$$

3. Будуємо графіки $y=\sqrt{x}$ та $y=2x-6$. Точка перетину: $(4; 2)$. Відповідь: $x=4$.

4.

$$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2 - |\sqrt{3}-2| = 7 - 2\sqrt{21} + 3 - (2-\sqrt{3}) = 10 - 2\sqrt{21} - 2 + \sqrt{3} = 8 - 2\sqrt{21} + \sqrt{3}.$$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості арифметичного квадратного кореня, формули скороченого множення та правило розкриття модуля: $\sqrt{a^2} = |a|$. Для графічного розв'язання рівнянь будуємо графіки функцій у одній системі координат.

1. Зведемо подібні доданки, винісши спільний множник $\sqrt{3}$ за дужки: $$15\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (15 - 5)\sqrt{3} = 10\sqrt{3}.$$ Відповідь: Б.

2.

1) Використовуємо властивість $\sqrt{a^2} = |a|$. Оскільки $|-5| = 5$, маємо: $$-2\sqrt{(-5)^2} = -2 \cdot |-5| = -2 \cdot 5 = -10.$$

2) Використовуємо властивість множення коренів $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$: $$\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 5 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} = 0,4.$$

3) Застосуємо формулу різниці квадратів $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$(\sqrt{11} - \sqrt{19})(\sqrt{11} + \sqrt{19}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{19})^2 = 11 - 19 = -8.$$

3. Розв'яжемо рівняння $\sqrt{x} = 2x - 6$ графічно.

1) Побудуємо графік функції $y = \sqrt{x}$. Це вітка параболи, що проходить через точки $(0;0), (1;1), (4;2), (9;3)$.
2) Побудуємо графік функції $y = 2x - 6$. Це пряма, що проходить через точки $(3;0)$ та $(4;2)$.

Графіки перетинаються в точці з абсцисою $x = 4$.
Перевірка: $\sqrt{4} = 2$; $2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$. $2 = 2$.
Відповідь: $x = 4$.

4. Спростимо вираз $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 - \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}$.
1) Розкриємо квадрат різниці першого доданка: $$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}.$$ 2) Спростимо корінь із квадрата, використовуючи тотожність $\sqrt{a^2} = |a|$: $$\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2|.$$ Оскільки $\sqrt{3} \approx 1,73$, то $\sqrt{3} < 2$, отже вираз під модулем від'ємний. Тоді $|\sqrt{3} - 2| = -( \sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.
3) Підставимо отримані значення у вираз: $$(10 - 2\sqrt{21}) - (2 - \sqrt{3}) = 10 - 2\sqrt{21} - 2 + \sqrt{3} = 8 - 2\sqrt{21} + \sqrt{3}.$$ Відповідь: $8 - 2\sqrt{21} + \sqrt{3}$.