ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $12\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = ...$
А. $3\sqrt{3}$ Б. $16\sqrt{3}$ В. $8\sqrt{3}$ Г. $8\sqrt{9}$

2. Обчисліть:
1) $-5\sqrt{(-2)^2}$;
2) $\sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{3}{7}}$;
3) $(\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3})$.

3. Розв'яжіть рівняння $3x - 10 = \sqrt{x}$ графічно.

4. Спростіть вираз $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - \sqrt{(\sqrt{2} - 5)^2}$.

Короткий розв'язок

1. $(12-4)\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \implies$ В.

2.

$$1) -5 \cdot |-2| = -5 \cdot 2 = -10.$$

$$2) \sqrt{\frac{3 \cdot 5 \cdot 3}{5 \cdot 7 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{3}{7}.$$

$$3) (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{3})^2 = 13 - 3 = 10.$$

3. $y = \sqrt{x} \cap y = 3x - 10 \implies (4; 2) \implies x = 4$.

4.

$$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - |\sqrt{2} - 5| = 3 - 2\sqrt{6} + 2 - (5 - \sqrt{2}) = 5 - 2\sqrt{6} - 5 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 2\sqrt{6}.$$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості арифметичного кореня, зокрема тотожність $\sqrt{a^2} = |a|$. Для графічного методу знаходимо абсцису точки перетину графіка функції y = √x та прямої.

1. Для віднімання виразів з коренями зведемо подібні доданки: $$12\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (12 - 4)\sqrt{3} = 8\sqrt{3}.$$ Відповідь: В.

2.

1) За властивістю кореня $\sqrt{a^2} = |a|$ маємо: $$-5\sqrt{(-2)^2} = -5 \cdot |-2| = -5 \cdot 2 = -10.$$

2) Використовуємо властивість множення коренів та скорочення дробів: $$\sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5 \cdot 3}{5 \cdot 7 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{3}{7}.$$

3) Використовуємо формулу різниці квадратів $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$(\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3}) = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{3})^2 = 13 - 3 = 10.$$

3. Розв'яжемо рівняння $3x - 10 = \sqrt{x}$ графічно.
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = 3x - 10$.
1) Графік $y = \sqrt{x}$ проходить через точки: $(0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3)$.
2) Графік $y = 3x - 10$ — пряма, що проходить через точки: $(3; -1), (4; 2), (5; 5)$.

Графіки перетинаються в точці з координатами $(4; 2)$. Абсциса точки перетину $x = 4$ і є розв'язком рівняння.
Відповідь: $x = 4$.

4. Спростимо вираз $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - \sqrt{(\sqrt{2} - 5)^2}$.
1) Застосуємо формулу квадрата різниці: $$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}.$$ 2) Спростимо другий доданок: $$\sqrt{(\sqrt{2} - 5)^2} = |\sqrt{2} - 5|.$$ Оскільки $\sqrt{2} \approx 1,41$, то $\sqrt{2} < 5$, отже $\sqrt{2} - 5 < 0$. Тоді: $$|\sqrt{2} - 5| = -( \sqrt{2} - 5) = 5 - \sqrt{2}.$$ 3) Знайдемо різницю: $$(5 - 2\sqrt{6}) - (5 - \sqrt{2}) = 5 - 2\sqrt{6} - 5 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 2\sqrt{6}.$$ Відповідь: $\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$.