ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $12\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = ...$
А. $15\sqrt{7}$ Б. $4\sqrt{7}$ В. $9\sqrt{49}$ Г. $9\sqrt{7}$

2. Обчисліть:
1) $-3\sqrt{(-7)^2}$;
2) $\sqrt{\frac{3}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}}$;
3) $(\sqrt{13} - \sqrt{17})(\sqrt{13} + \sqrt{17})$.

3. Розв'яжіть рівняння $\sqrt{x} = 5x - 4$ графічно.

4. Спростіть вираз $(\sqrt{5} - \sqrt{7})^2 - \sqrt{(\sqrt{7} - 11)^2}$.

Короткий розв'язок

1. $(12-3)\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$. Відповідь: Г.

2.

$$1) -3 \cdot |-7| = -3 \cdot 7 = -21.$$

$$2) \sqrt{\frac{3 \cdot 7 \cdot 3}{7 \cdot 8 \cdot 8}} = \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{3}{8} = 0,375.$$

$$3) (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{17})^2 = 13 - 17 = -4.$$

3. Будуємо графіки $y=\sqrt{x}$ та $y=5x-4$. Точка перетину: $(1; 1)$. Відповідь: $x=1$.

4.

$$(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2 - |\sqrt{7}-11| = 5 - 2\sqrt{35} + 7 - (11-\sqrt{7}) = 12 - 2\sqrt{35} - 11 + \sqrt{7} = 1 - 2\sqrt{35} + \sqrt{7}.$$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості арифметичного квадратного кореня. Пам'ятайте, що $\sqrt{x^2} = |x|$. Для графічного методу знаходимо спільні точки графіків функцій. При спрощенні виразів звертайте увагу на знак підмодульного виразу.

1. Зведемо подібні доданки, винісши спільний множник $\sqrt{7}$ за дужки: $$12\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = (12 - 3)\sqrt{7} = 9\sqrt{7}.$$ Відповідь: Г.

2.

1) Використовуємо властивість $\sqrt{a^2} = |a|$. Оскільки $|-7| = 7$, маємо: $$-3\sqrt{(-7)^2} = -3 \cdot |-7| = -3 \cdot 7 = -21.$$

2) Використовуємо властивість множення коренів $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$: $$\sqrt{\frac{3}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 7 \cdot 3}{7 \cdot 8 \cdot 8}}.$$ Скоротимо дріб на 7: $$\sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} = \frac{3}{8} = 0,375.$$

3) Застосуємо формулу різниці квадратів $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$(\sqrt{13} - \sqrt{17})(\sqrt{13} + \sqrt{17}) = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{17})^2 = 13 - 17 = -4.$$

3. Розв'яжемо рівняння $\sqrt{x} = 5x - 4$ графічно.

1) Побудуємо графік функції $y = \sqrt{x}$. Область визначення $x \ge 0$. Контрольні точки: $(0;0), (1;1), (4;2), (9;3)$.
2) Побудуємо графік функції $y = 5x - 4$. Це пряма. Контрольні точки: якщо $x=0$, $y=-4$; якщо $x=1$, $y=1$.

Графіки перетинаються в точці $(1; 1)$.
Перевірка: $\sqrt{1} = 1$; $5 \cdot 1 - 4 = 1$. $1 = 1$.
Відповідь: $x = 1$.

4. Спростимо вираз $(\sqrt{5} - \sqrt{7})^2 - \sqrt{(\sqrt{7} - 11)^2}$.
1) Піднесемо до квадрата різницю (перша частина виразу): $$(\sqrt{5} - \sqrt{7})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 5 - 2\sqrt{35} + 7 = 12 - 2\sqrt{35}.$$ 2) Спростимо корінь із квадрата, використовуючи тотожність $\sqrt{a^2} = |a|$: $$\sqrt{(\sqrt{7} - 11)^2} = |\sqrt{7} - 11|.$$ Оцінимо значення під модулем. Оскільки $\sqrt{7} \approx 2,65$, то $\sqrt{7} < 11$, тому $\sqrt{7} - 11 < 0$. Для від'ємного числа модуль дорівнює протилежному числу: $$|\sqrt{7} - 11| = -( \sqrt{7} - 11) = 11 - \sqrt{7}.$$ 3) Виконаємо віднімання отриманих частин: $$(12 - 2\sqrt{35}) - (11 - \sqrt{7}) = 12 - 2\sqrt{35} - 11 + \sqrt{7} = 1 - 2\sqrt{35} + \sqrt{7}.$$ Відповідь: $1 - 2\sqrt{35} + \sqrt{7}$.