ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $18\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = ...$
А. $15\sqrt{5}$ Б. $21\sqrt{5}$ В. $6\sqrt{5}$ Г. $15\sqrt{25}$

2. Обчисліть:
1) $-4\sqrt{(-3)^2}$;
2) $\sqrt{\frac{2}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{5}} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}}$;
3) $(\sqrt{19} - \sqrt{7})(\sqrt{19} + \sqrt{7})$.

3. Розв'яжіть рівняння $6x - 5 = \sqrt{x}$ графічно.

4. Спростіть вираз $(\sqrt{4} - \sqrt{5})^2 - \sqrt{(\sqrt{5} - 13)^2}$.

Короткий розв'язок

1. $(18-3)\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$. Відповідь: А.

2.

$$1) -4 \cdot |-3| = -4 \cdot 3 = -12.$$

$$2) \sqrt{\frac{2 \cdot 7 \cdot 2}{7 \cdot 5 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0,4.$$

$$3) (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{7})^2 = 19 - 7 = 12.$$

3. Будуємо графіки $y=\sqrt{x}$ та $y=6x-5$. Точка перетину: $(1; 1)$. Відповідь: $x=1$.

4.

$$(2-\sqrt{5})^2 - |\sqrt{5}-13| = 4 - 4\sqrt{5} + 5 - (13-\sqrt{5}) = 9 - 4\sqrt{5} - 13 + \sqrt{5} = -4 - 3\sqrt{5}.$$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення виразів використовуємо властивості арифметичного квадратного кореня. Основна тотожність: $\sqrt{a^2} = |a|$. Для графічного розв'язання рівнянь знаходимо точки перетину графіків лінійної функції та функції кореня.

1. Зведемо подібні доданки. Оскільки множник $\sqrt{5}$ спільний, віднімаємо коефіцієнти: $$18\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (18 - 3)\sqrt{5} = 15\sqrt{5}.$$ Відповідь: А.

2.

1) Використовуємо властивість $\sqrt{a^2} = |a|$. Оскільки $|-3| = 3$, маємо: $$-4\sqrt{(-3)^2} = -4 \cdot |-3| = -4 \cdot 3 = -12.$$

2) Використовуємо властивість множення коренів $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$: $$\sqrt{\frac{2}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{5}} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 7 \cdot 2}{7 \cdot 5 \cdot 5}}.$$ Скоротимо дріб на 7: $$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} = 0,4.$$

3) Застосуємо формулу різниці квадратів $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$(\sqrt{19} - \sqrt{7})(\sqrt{19} + \sqrt{7}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{7})^2 = 19 - 7 = 12.$$

3. Розв'яжемо рівняння $6x - 5 = \sqrt{x}$ графічно.

1) Побудуємо графік функції $y = \sqrt{x}$. Область визначення $x \ge 0$. Точки: $(0;0), (1;1), (4;2), (9;3)$.
2) Побудуємо графік функції $y = 6x - 5$. Це пряма. Знайдемо дві точки: якщо $x=1$, то $y = 6 \cdot 1 - 5 = 1$; якщо $x=2$, то $y = 6 \cdot 2 - 5 = 7$ (або $x=0$, $y=-5$).

Графіки перетинаються в точці $(1; 1)$.
Перевірка: $\sqrt{1} = 1$; $6 \cdot 1 - 5 = 1$. $1 = 1$.
Відповідь: $x = 1$.

4. Спростимо вираз $(\sqrt{4} - \sqrt{5})^2 - \sqrt{(\sqrt{5} - 13)^2}$.
1) Обчислимо перший доданок. Оскільки $\sqrt{4} = 2$, вираз набуває вигляду $(2 - \sqrt{5})^2$. Піднесемо до квадрата: $$(2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}.$$ 2) Спростимо корінь із квадрата, використовуючи тотожність $\sqrt{a^2} = |a|$: $$\sqrt{(\sqrt{5} - 13)^2} = |\sqrt{5} - 13|.$$ Оцінимо знак виразу під модулем. Оскільки $\sqrt{5} \approx 2,24$, то $\sqrt{5} < 13$, тому $\sqrt{5} - 13 < 0$. Отже: $$|\sqrt{5} - 13| = -(\sqrt{5} - 13) = 13 - \sqrt{5}.$$ 3) Виконаємо віднімання: $$(9 - 4\sqrt{5}) - (13 - \sqrt{5}) = 9 - 4\sqrt{5} - 13 + \sqrt{5}.$$ 4) Зведемо подібні доданки: $$(9 - 13) + (-4\sqrt{5} + \sqrt{5}) = -4 - 3\sqrt{5}.$$ Відповідь: $-4 - 3\sqrt{5}$.