ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №9 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть неповне квадратне рівняння.
А. $x^2 + 3x - 5 = 0$ Б. $\frac{1}{7}x^2 - x - 9 = 0$ В. $4x^2 - 5x = 0$ Г. $7x - x^2 + 11 = 0$

2. Розв'яжіть рівняння:
1) $-3x^2 + 6 = 0$;
2) $5x^2 + 7x + 2 = 0$;
3) $16x^2 + 1 = 8x$.

3. За яких значень $x$ значення виразу $(2x - 1)(x + 5)$ на 5 менше від значення виразу $x(x - 2)$?

4. Знайдіть значення $b$, за яких рівняння $2x^2 + bx + 8 = 0$ має лише один корінь?

Короткий розв'язок

1. Відповідь: В.

2.
1) $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$;
2) $D = 9 \implies x_1 = -0,4, x_2 = -1$;
3) $(4x - 1)^2 = 0 \implies x = 0,25$.

3. $(2x-1)(x+5) + 5 = x(x-2) \implies x^2 + 11x = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -11$.

4. $D = b^2 - 64 = 0 \implies b = \pm 8$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо означення неповних квадратних рівнянь та загальну формулу коренів за допомогою дискримінанта $D = b^2 - 4ac$. Рівняння має один корінь тоді, коли $D = 0$.

1. Неповним квадратним рівнянням називається рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$, у якого хоча б один з коефіцієнтів $b$ або $c$ дорівнює нулю. У варіанті В коефіцієнт $c = 0$.
Відповідь: В.

2.
1) $-3x^2 + 6 = 0 \implies -3x^2 = -6 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
2) $5x^2 + 7x + 2 = 0$.
Знайдемо дискримінант: $D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$.
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0,4$;
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.
3) $16x^2 + 1 = 8x \implies 16x^2 - 8x + 1 = 0$.
Помітимо формулу квадрата різниці: $(4x - 1)^2 = 0$.
$4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = 0,25$.

3. За умовою складемо рівняння:
$(2x - 1)(x + 5) + 5 = x(x - 2)$;
$2x^2 + 10x - x - 5 + 5 = x^2 - 2x$;
$2x^2 + 9x = x^2 - 2x$;
$x^2 + 11x = 0$;
$x(x + 11) = 0$.
$x_1 = 0$ або $x_2 = -11$.
Відповідь: 0; -11.

4. Рівняння $2x^2 + bx + 8 = 0$ має один корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю.
$D = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = b^2 - 64$.
$b^2 - 64 = 0 \implies b^2 = 64 \implies b = \pm 8$.
Відповідь: $\pm 8$.