ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №9 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть неповне квадратне рівняння.
А. $9x + x^2 - 17 = 0$ Б. $\frac{1}{8}x^2 + 5x - 9 = 0$ В. $x^2 - 3x - 8 = 0$ Г. $7x^2 - 8x = 0$

2. Розв'яжіть рівняння:
1) $-2x^2 + 10 = 0$;
2) $4x^2 + 9x + 5 = 0$;
3) $9x^2 + 1 = 6x$.

3. За яких значень $x$ значення виразу $x(x - 3)$ на 3 більше за значення виразу $(2x - 1)(x + 3)$?

4. Знайдіть значення $b$, за яких рівняння $8x^2 - bx + 2 = 0$ має лише один корінь?

Короткий розв'язок

1. Відповідь: Г.

2.
1) $2x^2 = 10 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$;
2) $D = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = -1,25$;
3) $(3x - 1)^2 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.

3. $x(x-3) - 3 = (2x-1)(x+3) \implies x^2 + 8x = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -8$.

4. $D = b^2 - 64 = 0 \implies b = \pm 8$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо класифікацію квадратних рівнянь. Для повних рівнянь обчислюємо дискримінант $D = b^2 - 4ac$. Наявність одного кореня відповідає умові $D = 0$.

1. Неповне квадратне рівняння має вигляд $ax^2 + bx + c = 0$, де хоча б один із коефіцієнтів ($b$ або $c$) дорівнює нулю. У варіанті Г маємо $7x^2 - 8x = 0$, де вільний член $c = 0$.
Відповідь: Г.

2.
1) $-2x^2 + 10 = 0 \implies 2x^2 = 10 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.
2) $4x^2 + 9x + 5 = 0$.
$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$;
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -1,25$.
3) $9x^2 + 1 = 6x \implies 9x^2 - 6x + 1 = 0$.
Застосуємо формулу квадрата різниці: $(3x - 1)^2 = 0$.
$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$.

3. За умовою значення першого виразу на 3 більше за друге. Складемо рівняння:
$x(x - 3) - 3 = (2x - 1)(x + 3)$;
$x^2 - 3x - 3 = 2x^2 + 6x - x - 3$;
$x^2 - 3x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$;
$x^2 + 8x = 0$;
$x(x + 8) = 0$.
$x_1 = 0$ або $x_2 = -8$.
Відповідь: 0; -8.

4. Рівняння $8x^2 - bx + 2 = 0$ має один корінь при $D = 0$.
$D = (-b)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = b^2 - 64$.
$b^2 - 64 = 0 \implies b^2 = 64 \implies b = \pm 8$.
Відповідь: $\pm 8$.