ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №9 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть неповне квадратне рівняння.
А. $7x^2 - 28 = 0$ Б. $x^2 - 5x - 9 = 0$ В. $17x + x^2 - 19 = 0$ Г. $\frac{1}{5}x^2 + 7x - 3 = 0$

2. Розв'яжіть рівняння:
1) $-4x^2 + 12 = 0$;
2) $3x^2 - 8x + 5 = 0$;
3) $36x^2 + 1 = -12x$.

3. За яких значень $x$ значення виразу $(2x + 1)(x + 7)$ на 7 більше за значення виразу $x(x + 8)$?

4. Знайдіть значення $b$, за яких рівняння $3x^2 - bx + 3 = 0$ має лише один корінь?

Короткий розв'язок

1. Відповідь: А.

2.
1) $x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$;
2) $D = 4 \implies x_1 = 1\frac{2}{3}, x_2 = 1$;
3) $(6x + 1)^2 = 0 \implies x = -\frac{1}{6}$.

3. $(2x+1)(x+7) - 7 = x(x+8) \implies x^2 + 7x = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -7$.

4. $D = b^2 - 36 = 0 \implies b = \pm 6$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо означення неповних квадратних рівнянь. Повні рівняння розв'язуємо через дискримінант або за допомогою формул скороченого множення. Кількість коренів визначається знаком дискримінанта: один корінь при $D = 0$.

1. Неповне квадратне рівняння — це рівняння, у якому хоча б один із коефіцієнтів ($b$ або $c$) дорівнює нулю. У рівнянні $7x^2 - 28 = 0$ коефіцієнт $b = 0$.
Відповідь: А.

2.
1) $-4x^2 + 12 = 0 \implies -4x^2 = -12 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
2) $3x^2 - 8x + 5 = 0$.
Знайдемо дискримінант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.
$x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = 1\frac{2}{3}$;
$x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
3) $36x^2 + 1 = -12x \implies 36x^2 + 12x + 1 = 0$.
Це формула квадрата суми: $(6x + 1)^2 = 0$.
$6x + 1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x = -\frac{1}{6}$.

3. За умовою значення першого виразу більше за друге на 7. Складемо рівняння:
$(2x + 1)(x + 7) - 7 = x(x + 8)$;
$2x^2 + 14x + x + 7 - 7 = x^2 + 8x$;
$2x^2 + 15x = x^2 + 8x$;
$x^2 + 7x = 0$;
$x(x + 7) = 0$.
$x_1 = 0$ або $x_2 = -7$.
Відповідь: 0; -7.

4. Квадратне рівняння $3x^2 - bx + 3 = 0$ має лише один корінь, якщо $D = 0$.
$D = (-b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36$.
$b^2 - 36 = 0 \implies b^2 = 36 \implies b = \pm 6$.
Відповідь: $\pm 6$.