ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть бічні сторони трапеції, зображеної на малюнку.
А. KF і LM; Б. KF і KL; В. LM і MF; Г. KL і MF.
2. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть сторону цього трикутника.
А. 4 см; Б. 16 см; В. 24 см; Г. 12 см.
3. Дано: $M_1N_1 \parallel M_2N_2$, $OM_1 = M_1M_2$, $ON_1 = 4$ см. Знайти: $ON_2$.
А. 6 см; Б. 9 см; В. 8 см; Г. 7 см.
4. Знайдіть кути M і N чотирикутника MNKL, вписаного в коло, якщо $\angle K = 120^\circ$, $\angle L = 40^\circ$.
5. Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Знайдіть периметр трикутника, сторонами якого є середні лінії цього трикутника.
6. Середня лінія трапеції дорівнює 10 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 2 см більша за другу.
7. У рівнобічну трапецію, периметр якої 28 см, вписано коло. Знайдіть бічну сторону трапеції.
8. У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює $120^\circ$, а більша бічна сторона і більша основа дорівнюють по 16 см. Знайдіть меншу основу трапеції.
9. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її тупий кут навпіл, а середню лінію — на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трапеції.
Короткий розв'язок
1. Г. KL і MF.
2. Сторона = $2 \cdot 8 = 16$ см $\implies$ Б.
3. $ON_2 = ON_1 + N_1N_2 = 2 \cdot ON_1 = 8$ см $\implies$ В.
4. $\angle M = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. $\angle N = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
5. $P_{сер} = (6+8+10)/2 = 12$ см.
6. $(x + x+2)/2 = 10 \implies 2x+2 = 20 \implies x=9$. Основи 9 см і 11 см.
7. $a+b = 2c$. $P=a+b+2c = 4c = 28 \implies c=7$ см.
8. Висота $h=16\sin(60^\circ)=8\sqrt{3}$. $x=(16-h/\tan(60^\circ))=16-8=8$. Менша основа = 8 см.
9. Основи 8 см і 10 см. Бічна сторона = 8 см. $P = 8+10+8+8=34$ см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, вписаних та описаних чотирикутників, теорему Фалеса та властивості середніх ліній.
1. У трапеції KLMF основи - паралельні сторони LM і KF. Бічні сторони - непаралельні сторони KL і MF.
Відповідь: Г.
2. Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна. У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, тому сторона вдвічі більша за середню лінію. Сторона = $2 \cdot 8 = 16$ см.
Відповідь: Б.
3. За теоремою Фалеса, якщо паралельні прямі відтинають на одній стороні кута рівні відрізки ($OM_1 = M_1M_2$), то вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута. Отже, $ON_1 = N_1N_2 = 4$ см. Тоді $ON_2 = ON_1 + N_1N_2 = 4 + 4 = 8$ см.
Відповідь: В.
4. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює $180^\circ$. $\angle M + \angle L = 180^\circ \implies \angle M = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. $\angle N + \angle K = 180^\circ \implies \angle N = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Відповідь: $\angle M = 140^\circ$, $\angle N = 60^\circ$.
5. Периметр трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнює половині периметра початкового трикутника. $P = 6+8+10 = 24$ см. $P_{сер} = 24 / 2 = 12$ см.
Відповідь: 12 см.
6. Нехай менша основа дорівнює $x$ см, тоді більша - $(x+2)$ см. Середня лінія - це півсума основ: $(x + x+2)/2 = 10 \implies 2x+2 = 20 \implies 2x=18 \implies x=9$. Менша основа 9 см, більша 11 см.
Відповідь: 9 см і 11 см.
7. У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні. Для рівнобічної трапеції $a+b=2c$, де $a,b$ - основи, $c$ - бічна сторона. Периметр $P = a+b+2c = 2c+2c = 4c$. $4c = 28 \implies c = 7$ см.
Відповідь: 7 см.
8. Нехай трапеція ABCD, $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\angle C = 120^\circ$. Тоді $\angle D = 360 - 90-90-120=60^\circ$. Проведемо висоту CH. $CH = AB$. У $\triangle CHD$, $CD=16$ (більша бічна сторона), $\angle D = 60^\circ$. $HD = CD \cdot \cos(60^\circ) = 16 \cdot 0.5 = 8$ см. Більша основа $AD=16$. Менша основа $BC = AH = AD - HD = 16 - 8 = 8$ см.
Відповідь: 8 см.
9. Середня лінія трапеції ділиться діагоналлю на відрізки, що дорівнюють половинам основ. Отже, основи трапеції $a = 2 \cdot 4 = 8$ см і $b = 2 \cdot 5 = 10$ см. Оскільки діагональ ділить тупий кут навпіл, вона відтинає рівнобедрений трикутник, тому менша основа дорівнює бічній стороні. Отже, бічна сторона $c=8$ см. Периметр $P = a+b+2c = 8+10+2\cdot8 = 34$ см.
Відповідь: 34 см.
