ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть основи трапеції, зображеної на малюнку.
А. DN і DE; Б. DN і EF; В. DE і FN; Г. EF і FN.
2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть середню лінію цього трикутника.
А. 3 см; Б. 24 см; В. 4 см; Г. 6 см.
3. Дано: $K_1P_1 \parallel K_2P_2$, $OP_1 = P_1P_2$, $K_1K_2 = 5$ см. Знайти: $OK_2$.
А. 10 см; Б. 12 см; В. 9 см; Г. 15 см.
4. Знайдіть кути A і B чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо $\angle C = 70^\circ$, $\angle D = 110^\circ$.
5. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють 5 см, 7 см і 8 см.
6. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 4 см менша від другої.
7. Коло вписане в рівнобічну трапецію. Знайдіть периметр трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 5 см.
8. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює $60^\circ$, а більша основа і більша бічна сторона дорівнюють по 18 см. Знайдіть меншу основу трапеції.
9. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл, а середню лінію — на відрізки 3 см і 4 см. Знайдіть периметр трапеції.
Короткий розв'язок
1. Б. DN і EF.
2. Середня лінія = $12 / 2 = 6$ см $\implies$ Г.
3. $OK_1 = K_1K_2 = 5$ см. $OK_2 = OK_1+K_1K_2 = 10$ см $\implies$ А.
4. $\angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
5. $P = 2 \cdot (5+7+8) = 2 \cdot 20 = 40$ см.
6. $(x + x-4)/2 = 12 \implies 2x-4 = 24 \implies x=14$. Основи 10 см і 14 см.
7. $P = 4c = 4 \cdot 5 = 20$ см.
8. Менша основа = $18 - 18\cos(60^\circ) = 18 - 9 = 9$ см.
9. Основи 6 см і 8 см. Бічна сторона = 8 см. $P = 6+8+8+8=30$ см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, вписаних та описаних чотирикутників, теорему Фалеса та властивості середніх ліній.
1. У трапеції основи - це її паралельні сторони. На малюнку це DN і EF.
Відповідь: Б.
2. Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна. Отже, середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює половині його сторони. Середня лінія = $12 / 2 = 6$ см.
Відповідь: Г.
3. За теоремою Фалеса, якщо паралельні прямі відтинають на одній стороні кута рівні відрізки ($OP_1 = P_1P_2$), то вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута. Отже, $OK_1 = K_1K_2 = 5$ см. Тоді $OK_2 = OK_1 + K_1K_2 = 5 + 5 = 10$ см.
Відповідь: А.
4. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює $180^\circ$. $\angle A + \angle C = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. $\angle B + \angle D = 180^\circ \implies \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
Відповідь: $\angle A = 110^\circ$, $\angle B = 70^\circ$.
5. Сторони трикутника вдвічі довші за його середні лінії. Отже, сторони трикутника дорівнюють $2 \cdot 5=10$ см, $2 \cdot 7=14$ см, $2 \cdot 8=16$ см. Периметр $P = 10+14+16=40$ см.
Відповідь: 40 см.
6. Нехай більша основа дорівнює $x$ см, тоді менша - $(x-4)$ см. Середня лінія - це півсума основ: $(x + x-4)/2 = 12 \implies 2x-4 = 24 \implies 2x=28 \implies x=14$. Більша основа 14 см, менша 10 см.
Відповідь: 10 см і 14 см.
7. У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні. Для рівнобічної трапеції $a+b=2c$, де $a,b$ - основи, $c$ - бічна сторона. Периметр $P = a+b+2c = 2c+2c = 4c$. $P = 4 \cdot 5 = 20$ см.
Відповідь: 20 см.
8. Нехай трапеція ABCD, $\angle A = \angle D = 90^\circ$, гострий кут $\angle C = 60^\circ$. Тоді тупий кут $\angle B = 120^\circ$. Більша основа $DC=18$, більша бічна сторона $BC=18$. Проведемо висоту BH. У $\triangle BHC$, $\angle C = 60^\circ$. $HC = BC \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot 0.5 = 9$ см. Менша основа $AB = DH = DC - HC = 18 - 9 = 9$ см.
Відповідь: 9 см.
9. Середня лінія трапеції ділиться діагоналлю на відрізки, що дорівнюють половинам основ. Отже, основи трапеції $a = 2 \cdot 3 = 6$ см і $b = 2 \cdot 4 = 8$ см. Оскільки діагональ ділить гострий кут навпіл, вона відтинає рівнобедрений трикутник, тому більша основа дорівнює бічній стороні. Отже, бічна сторона $c=8$ см. Периметр $P = a+b+2c = 6+8+2\cdot8 = 30$ см.
Відповідь: 30 см.
