ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть основи трапеції, зображеної на малюнку.
А. CL і CF; Б. CL і FK; В. FK і KL; Г. CF і KL.
2. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 6 см. Знайдіть сторону цього трикутника.
А. 12 см; Б. 18 см; В. 3 см; Г. 9 см.
3. Дано: $A_1C_1 \parallel A_2C_2$, $PA_1 = A_1A_2$, $PC_1 = 3$ см. Знайти: $PC_2$.
А. 9 см; Б. 6 см; В. 7 см; Г. 5 см.
4. Знайдіть кути P і L чотирикутника MNPL, вписаного в коло, якщо $\angle M = 140^\circ$, $\angle N = 30^\circ$.
5. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 12 см і 14 см. Знайдіть периметр трикутника, сторонами якого є середні лінії цього трикутника.
6. Середня лінія трапеції дорівнює 6 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 2 см менша від другої.
7. Коло вписане в рівнобічну трапецію, периметр якої 24 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.
8. У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює $120^\circ$, більша бічна сторона – 10 см, а більша основа – 8 см. Знайдіть меншу основу трапеції.
9. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її тупий кут навпіл. Менша основа трапеції дорівнює 10 см, а бічна сторона – 16 см. Визначте довжини відрізків, на які діагональ ділить середню лінію трапеції.
Короткий розв'язок
1. Б. CL і FK.
2. Сторона = $2 \cdot 6 = 12$ см $\implies$ А.
3. $PC_2 = 2 \cdot PC_1 = 6$ см $\implies$ Б.
4. $\angle P = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. $\angle L = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
5. $P_{сер} = (8+12+14)/2 = 17$ см.
6. $(x + x-2)/2 = 6 \implies 2x-2 = 12 \implies x=7$. Основи 5 см і 7 см.
7. $P = 4c = 24 \implies c=6$ см.
8. Менша основа = $8 - 10\cos(60^\circ) = 8 - 5 = 3$ см.
9. Більша основа = 16 см. Відрізки: $10/2=5$ см і $16/2=8$ см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, вписаних та описаних чотирикутників, теорему Фалеса та властивості середніх ліній.
1. У трапеції основи - це її паралельні сторони. На малюнку це CL і FK.
Відповідь: Б.
2. Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна. У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, тому сторона вдвічі більша за середню лінію. Сторона = $2 \cdot 6 = 12$ см.
Відповідь: А.
3. За теоремою Фалеса, якщо паралельні прямі відтинають на одній стороні кута рівні відрізки ($PA_1 = A_1A_2$), то вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута. Отже, $PC_1 = C_1C_2 = 3$ см. Тоді $PC_2 = PC_1 + C_1C_2 = 3 + 3 = 6$ см.
Відповідь: Б.
4. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює $180^\circ$. $\angle P + \angle N = 180^\circ \implies \angle P = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. $\angle L + \angle M = 180^\circ \implies \angle L = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Відповідь: $\angle P = 150^\circ$, $\angle L = 40^\circ$.
5. Периметр трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнює половині периметра початкового трикутника. $P = 8+12+14 = 34$ см. $P_{сер} = 34 / 2 = 17$ см.
Відповідь: 17 см.
6. Нехай більша основа дорівнює $x$ см, тоді менша - $(x-2)$ см. Середня лінія - це півсума основ: $(x + x-2)/2 = 6 \implies 2x-2 = 12 \implies 2x=14 \implies x=7$. Більша основа 7 см, менша 5 см.
Відповідь: 5 см і 7 см.
7. У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні. Для рівнобічної трапеції $a+b=2c$, де $a,b$ - основи, $c$ - бічна сторона. Периметр $P = a+b+2c = 2c+2c = 4c$. $4c = 24 \implies c = 6$ см.
Відповідь: 6 см.
8. Нехай трапеція ABCD, $\angle A = \angle B = 90^\circ$, тупий кут $\angle C = 120^\circ$. Тоді гострий кут $\angle D = 60^\circ$. Більша основа $AD=8$, більша бічна сторона $CD=10$. Проведемо висоту CH. У $\triangle CHD$, $\angle D = 60^\circ$. $HD = CD \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5$ см. Менша основа $BC = AH = AD - HD = 8 - 5 = 3$ см.
Відповідь: 3 см.
9. Оскільки діагональ ділить тупий кут навпіл, вона відтинає рівнобедрений трикутник, тому більша основа дорівнює бічній стороні. Отже, більша основа $b=16$ см. Менша основа $a=10$ см. Середня лінія трапеції ділиться діагоналлю на відрізки, що дорівнюють половинам основ. Отже, відрізки: $10/2 = 5$ см і $16/2 = 8$ см.
Відповідь: 5 см і 8 см.
