ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть бічні сторони трапеції, зображеної на малюнку.
А. NT і KL; Б. NT і TK; В. KL і NL; Г. NL і TK.
2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 18 см. Знайдіть середню лінію цього трикутника.
А. 36 см; Б. 9 см; В. 6 см; Г. 3 см.
3. Дано: $M_1D_1 \parallel M_2D_2$, $PM_1 = M_1M_2$, $D_1D_2 = 6$ см. Знайти: $PD_2$.
А. 14 см; Б. 10 см; В. 8 см; Г. 12 см.
4. Знайдіть кути M і N чотирикутника KLMN, вписаного в коло, якщо $\angle K = 130^\circ$, $\angle L = 60^\circ$.
5. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см.
6. Середня лінія трапеції дорівнює 8 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 4 см більша за другу.
7. Коло вписане в рівнобічну трапецію. Знайдіть периметр трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 7 см.
8. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює $60^\circ$, а більша основа – 10 см, більша бічна сторона – 8 см. Знайдіть меншу основу трапеції.
9. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл. Більша основа трапеції дорівнює 14 см, а бічна сторона – 8 см. Визначте довжини відрізків, на які діагональ ділить середню лінію трапеції.
Короткий розв'язок
1. А. NT і KL.
2. Середня лінія = $18 / 2 = 9$ см $\implies$ Б.
3. $PD_1 = D_1D_2 = 6$ см. $PD_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см $\implies$ Г.
4. $\angle M = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. $\angle N = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
5. $P = 2 \cdot (4+5+6) = 2 \cdot 15 = 30$ см.
6. $(x + x+4)/2 = 8 \implies 2x+4 = 16 \implies x=6$. Основи 6 см і 10 см.
7. $P = 4c = 4 \cdot 7 = 28$ см.
8. Менша основа = $10 - 8\cos(60^\circ) = 10 - 4 = 6$ см.
9. Менша основа = 8 см. Відрізки: $8/2=4$ см і $14/2=7$ см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, вписаних та описаних чотирикутників, теорему Фалеса та властивості середніх ліній.
1. У трапеції бічні сторони - це її непаралельні сторони. На малюнку паралельні сторони (основи) - це TK і NL. Отже, бічні сторони - NT і KL.
Відповідь: А.
2. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює половині його сторони. Середня лінія = $18 / 2 = 9$ см.
Відповідь: Б.
3. За теоремою Фалеса, якщо паралельні прямі відтинають на одній стороні кута рівні відрізки ($PM_1 = M_1M_2$), то вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута. Отже, $PD_1 = D_1D_2 = 6$ см. Тоді $PD_2 = PD_1 + D_1D_2 = 6 + 6 = 12$ см.
Відповідь: Г.
4. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює $180^\circ$. $\angle M + \angle K = 180^\circ \implies \angle M = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. $\angle N + \angle L = 180^\circ \implies \angle N = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Відповідь: $\angle M = 50^\circ$, $\angle N = 120^\circ$.
5. Сторони трикутника вдвічі довші за його середні лінії. Отже, сторони трикутника дорівнюють $2 \cdot 4=8$ см, $2 \cdot 5=10$ см, $2 \cdot 6=12$ см. Периметр $P = 8+10+12=30$ см.
Відповідь: 30 см.
6. Нехай менша основа дорівнює $x$ см, тоді більша - $(x+4)$ см. Середня лінія - це півсума основ: $(x + x+4)/2 = 8 \implies 2x+4 = 16 \implies 2x=12 \implies x=6$. Менша основа 6 см, більша 10 см.
Відповідь: 6 см і 10 см.
7. У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні. Для рівнобічної трапеції $a+b=2c$, де $a,b$ - основи, $c$ - бічна сторона. Периметр $P = a+b+2c = 2c+2c = 4c$. $P = 4 \cdot 7 = 28$ см.
Відповідь: 28 см.
8. Нехай трапеція ABCD, $\angle C = \angle D = 90^\circ$, гострий кут $\angle B = 60^\circ$. Більша основа $CD=10$, більша бічна сторона $AB=8$. Проведемо висоту AH. У $\triangle ABH$, $\angle B = 60^\circ$. $BH = AB \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot 0.5 = 4$ см. Менша основа $AD = CH = CD - BH = 10 - 4 = 6$ см.
Відповідь: 6 см.
9. Оскільки діагональ ділить гострий кут навпіл, вона відтинає рівнобедрений трикутник, тому менша основа дорівнює бічній стороні. Отже, менша основа $a=8$ см. Більша основа $b=14$ см. Середня лінія трапеції ділиться діагоналлю на відрізки, що дорівнюють половинам основ. Отже, відрізки: $8/2 = 4$ см і $14/2 = 7$ см.
Відповідь: 4 см і 7 см.
