ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $AB : DE = 3 : 4$. Знайдіть відношення $EF : BC$.
А. $7 : 3$; Б. $3 : 4$; В. $4 : 3$; Г. $4 : 7$.

2. Укажіть умови, за яких $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$.
А. $\angle M = \angle M_1$, $\frac{KM}{K_1M_1} > \frac{LM}{L_1M_1}$; Б. $\angle K = \angle K_1$, $\angle L = 32^\circ$, $\angle L_1 = 43^\circ$;
В. $\angle L = \angle L_1$, $\frac{KL}{K_1L_1} \neq \frac{LM}{L_1M_1}$; Г. $\angle K = \angle K_1$, $\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{KM}{K_1M_1}$.

3. Дано: $AB \parallel CD$, $OB = 4$ см, $BD = 8$ см, $OA = 3$ см. Знайдіть $AC$.
А. $10\frac{2}{3}$ см; Б. $6$ см; В. $9$ см; Г. $7$ см.

4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, проєкція якого на гіпотенузу — 3 см, якщо гіпотенуза дорівнює 27 см.

5. $BK$ — бісектриса трикутника $ABC$, $AB = 6$ см, $BC = 10$ см. Менший з відрізків, на які бісектриса $BK$ ділить сторону $AC$, дорівнює 3 см. Знайдіть $AC$.

6. Хорда $MN$ завдовжки 9 см перетинає хорду $KL$ у точці $A$, $AM = 6$ см, $AL = 9$ см. Знайдіть довжину хорди $KL$.

7. Сторони трикутника відносяться як $3 : 4 : 6$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, сума більшої і меншої сторін якого дорівнює 27 см.

8. Точка $O$ — точка перетину діагоналей трапеції $ABCD$ з основами $AB$ і $CD$, $AO = 9$ см, $OC = 6$ см. Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорівнює 25 см.

9. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 5 см і 3 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

Короткий розв'язок

1. $k = \frac{AB}{DE} = \frac{3}{4} \implies \frac{BC}{EF} = \frac{3}{4} \implies \frac{EF}{BC} = \frac{4}{3} \implies$ В.

2. Ознака подібності за двома сторонами та кутом між ними $\implies$ Г.

3. $\triangle OAB \sim \triangle OCD \implies \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} \implies \frac{3}{OC} = \frac{4}{12} \implies OC = 9$. $AC = 9 - 3 = 6$ см $\implies$ Б.

4. $a^2 = a_c \cdot c \implies a^2 = 3 \cdot 27 = 81 \implies a = 9$ см.

5. $\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0.6$. Нехай $AK = 3 \implies 3/KC = 0.6 \implies KC = 5$. $AC = 3 + 5 = 8$ см.

6. $AN = 9 - 6 = 3$. $AM \cdot AN = AL \cdot AK \implies 6 \cdot 3 = 9 \cdot AK \implies AK = 2$. $KL = 9 + 2 = 11$ см.

7. $3x + 6x = 27 \implies 9x = 27 \implies x = 3$. Сторони: $9, 12, 18$ см.

8. $\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OC} = \frac{9}{6} = 1.5$. $1.5x + x = 25 \implies 2.5x = 25 \implies CD = 10, AB = 15$ см.

9. $HD = (5-3)/2 = 1, AH = 4. h^2 = 4 \cdot 1 = 4 \implies h = 2$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо ознаки подібності трикутників, метричні співвідношення, властивості бісектриси та хорд, що перетинаються.

1. Оскільки $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, то відношення відповідних сторін рівні: $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$. За умовою $\frac{AB}{DE} = \frac{3}{4}$, отже $\frac{BC}{EF} = \frac{3}{4}$. Тоді обернене відношення $\frac{EF}{BC} = \frac{4}{3}$.
Відповідь: В.

2. Згідно з другою ознакою подібності трикутників, якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого і кути між ними рівні, то такі трикутники подібні. Варіант Г повністю відповідає цій умові.
Відповідь: Г.

3. При $AB \parallel CD$ маємо $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (за двома кутами). Відповідні сторони пропорційні: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$. Довжина $OD = OB + BD = 4 + 8 = 12$ см. Складаємо пропорцію: $\frac{3}{OC} = \frac{4}{12}$. Звідси $OC = \frac{3 \cdot 12}{4} = 9$ см. Тоді $AC = OC - OA = 9 - 3 = 6$ см.
Відповідь: Б.

4. Використовуємо формулу метричного співвідношення: катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проєкцією на неї.

$$a^2 = a_c \cdot c$$

$a^2 = 3 \cdot 27 = 81 \implies a = \sqrt{81} = 9$ (см).
Відповідь: 9 см.

5. За властивістю бісектриси: $\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Нехай $AK = 3x, KC = 5x$. Оскільки $AK$ — менший відрізок, то $3x = 3 \implies x = 1$. Тоді $KC = 5 \cdot 1 = 5$ см. Сторона $AC = 3 + 5 = 8$ см.
Відповідь: 8 см.

6. Для хорд, що перетинаються: $AM \cdot AN = AL \cdot AK$. Знайдемо $AN = MN - AM = 9 - 6 = 3$ см. Підставимо: $6 \cdot 3 = 9 \cdot AK \implies 18 = 9 \cdot AK \implies AK = 2$ см. Тоді $KL = AL + AK = 9 + 2 = 11$ см.
Відповідь: 11 см.

7. Сторони трикутника: $3x, 4x, 6x$. За умовою сума найбільшої та найменшої дорівнює 27 см: $3x + 6x = 27 \implies 9x = 27 \implies x = 3$.
Сторони: $3 \cdot 3 = 9$ см, $4 \cdot 3 = 12$ см, $6 \cdot 3 = 18$ см.
Відповідь: 9 см, 12 см, 18 см.

8. Основи трапеції паралельні, тому $\triangle OAB \sim \triangle OCD$. Тоді $\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OC} = \frac{9}{6} = 1.5$. Нехай $CD = x$, тоді $AB = 1.5x$.
$1.5x + x = 25 \implies 2.5x = 25 \implies x = 10$ см ($CD$).
$AB = 1.5 \cdot 10 = 15$ см.
Відповідь: 15 см і 10 см.

9. У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить основу на відрізки $HD = \frac{a-b}{2} = \frac{5-3}{2} = 1$ см та $AH = a - HD = 4$ см. Оскільки $\angle ACD = 90^\circ$, то висота $CH$ є середнім пропорційним між $AH$ та $HD$:

$$CH^2 = AH \cdot HD = 4 \cdot 1 = 4 \implies CH = 2 \text{ см}$$

Відповідь: 2 см.