ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $\triangle EFK \sim \triangle MNL$, $FK : NL = 3 : 5$. Знайдіть відношення $MN : EF$.
А. $5 : 3$; Б. $8 : 5$; В. $3 : 5$; Г. $3 : 8$.

2. Укажіть умови, за яких $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
А. $\angle A = \angle A_1, \frac{AB}{A_1B_1} \neq \frac{AC}{A_1C_1}$; Б. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$;
В. $\angle A = \angle A_1, \angle B = 47^\circ, \angle B_1 = 51^\circ$; Г. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}, \frac{BC}{B_1C_1} \neq \frac{AC}{A_1C_1}$.

3. Дано: $MK \parallel PL$, $OM = 3$ см, $MP = 6$ см, $OK = 2$ см. Знайдіть $KL$.
А. $5$ см; Б. $9$ см; В. $4$ см; Г. $5$ см.

4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, проєкція якого на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза — 16 см.

5. $AM$ — бісектриса трикутника $ABC$, $AB = 4$ см, $AC = 6$ см. Більший з відрізків, на які бісектриса $AM$ ділить сторону $BC$, дорівнює 3 см. Знайдіть $BC$.

6. Хорда $AB$ завдовжки 12 см перетинає хорду $CD$ у точці $K$, $AK = 2$ см, $KD = 5$ см. Знайдіть довжину хорди $CD$.

7. Сторони трикутника відносяться як $2 : 4 : 5$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, сума найбільшої та середньої за розміром сторін якого дорівнює 36 см.

8. $O$ — точка перетину діагоналей трапеції $ABCD$ з основами $AD$ і $BC$, $AD = 8$ см, $BC = 6$ см. Знайдіть відрізки $BO$ і $OD$, якщо їх різниця дорівнює 1 см.

9. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 9 см і 15 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

Короткий розв'язок

1. $k = \frac{EF}{MN} = \frac{FK}{NL} = \frac{3}{5} \implies \frac{MN}{EF} = \frac{5}{3}$. Відповідь: А.

2. Рівність трьох відношень сторін — третя ознака подібності. Відповідь: Б.

3. $\triangle OMK \sim \triangle OPL \implies \frac{OM}{OP} = \frac{OK}{OL} \implies \frac{3}{9} = \frac{2}{OL} \implies OL = 6$. $KL = 6 - 2 = 4$ см. Відповідь: В.

4. $a^2 = a_c \cdot c = 4 \cdot 16 = 64 \implies a = 8$ см.

5. $\frac{BM}{MC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $MC = 3 \implies BM = 2$. $BC = 2 + 3 = 5$ см.

6. $KB = 12 - 2 = 10$. $AK \cdot KB = CK \cdot KD \implies 20 = 5 \cdot CK \implies CK = 4$. $CD = 4 + 5 = 9$ см.

7. $4x + 5x = 36 \implies 9x = 36 \implies x = 4$. Сторони: $8, 16, 20$ см.

8. $\frac{BO}{OD} = \frac{6}{8} = 0.75$. $OD - BO = 1 \implies OD - 0.75 \cdot OD = 1 \implies OD = 4, BO = 3$ см.

9. $HD = \frac{15-9}{2} = 3, AH = 12$. $h^2 = 12 \cdot 3 = 36 \implies h = 6$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо ознаки подібності трикутників, властивості бісектриси, хорд та метричні співвідношення у прямокутному трикутнику.

1. Оскільки $\triangle EFK \sim \triangle MNL$, то відношення відповідних сторін рівні: $\frac{EF}{MN} = \frac{FK}{NL} = \frac{EK}{ML}$. За умовою $FK : NL = 3 : 5$, отже $\frac{EF}{MN} = \frac{3}{5}$. Шукане відношення $MN : EF = 5 : 3$.
Відповідь: А.

2. Згідно з третьою ознакою подібності трикутників, якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, то такі трикутники подібні. Умова Б повністю відображає цю ознаку.
Відповідь: Б.

3. При $MK \parallel PL$ утворюються подібні трикутники $\triangle OMK \sim \triangle OPL$ (за двома кутами). $OP = OM + MP = 3 + 6 = 9$ см. Відношення сторін: $\frac{OM}{OP} = \frac{OK}{OL} \implies \frac{3}{9} = \frac{2}{OL} \implies OL = \frac{9 \cdot 2}{3} = 6$ см. Тоді $KL = OL - OK = 6 - 2 = 4$ см.
Відповідь: В.

4. У прямокутному трикутнику катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проєкцією на неї:

$$a^2 = a_c \cdot c$$

$a^2 = 4 \cdot 16 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8$ (см).
Відповідь: 8 см.

5. За властивістю бісектриси: $\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Оскільки $AC > AB$, то більшим відрізком буде $MC = 3$ см. Тоді $\frac{BM}{3} = \frac{2}{3} \implies BM = 2$ см. Сторона $BC = BM + MC = 2 + 3 = 5$ см.
Відповідь: 5 см.

6. За властивістю хорд, що перетинаються: $AK \cdot KB = CK \cdot KD$. Спочатку знайдемо $KB = AB - AK = 12 - 2 = 10$ см. Складаємо рівняння: $2 \cdot 10 = CK \cdot 5 \implies 20 = 5 \cdot CK \implies CK = 4$ см. Довжина всієї хорди $CD = CK + KD = 4 + 5 = 9$ см.
Відповідь: 9 см.

7. Нехай сторони подібного трикутника дорівнюють $2x, 4x, 5x$. Середня за розміром сторона — $4x$, найбільша — $5x$. За умовою: $4x + 5x = 36 \implies 9x = 36 \implies x = 4$. Сторони: $2 \cdot 4 = 8$ см, $4 \cdot 4 = 16$ см, $5 \cdot 4 = 20$ см.
Відповідь: 8 см, 16 см, 20 см.

8. $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ за двома кутами (кути при діагоналях як внутрішні різносторонні). Коефіцієнт подібності $k = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{8} = 0.75$. Тоді $BO = 0.75 \cdot OD$. Оскільки $AD > BC$, то $OD > BO$. За умовою $OD - BO = 1$. Підставляємо: $OD - 0.75 \cdot OD = 1 \implies 0.25 \cdot OD = 1 \implies OD = 4$ см. Тоді $BO = 4 - 1 = 3$ см.
Відповідь: 3 см і 4 см.

9. Проведемо висоту $CH$. У рівнобічній трапеції $HD = \frac{a-b}{2} = \frac{15-9}{2} = 3$ см. Відрізок $AH = 15 - 3 = 12$ см. Оскільки діагональ $AC \perp CD$, то висота $CH$ є середнім пропорційним відрізків основи: $CH^2 = AH \cdot HD = 12 \cdot 3 = 36 \implies CH = 6$ см.
Відповідь: 6 см.