ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $\triangle KLM \sim \triangle DET$, $KL : DE = 6 : 5$. Знайдіть відношення $ET : LM$.
А. $5 : 11$; Б. $6 : 5$; В. $6 : 11$; Г. $5 : 6$.

2. Укажіть умови, за яких $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
А. $\angle A = \angle A_1, \frac{AB}{A_1B_1} \neq \frac{AC}{A_1C_1}$; Б. $\angle B = \angle B_1, \angle A = 32^\circ, \angle A_1 = 28^\circ$;
В. $\angle C = \angle C_1, \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$; Г. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \frac{AC}{A_1C_1} \neq \frac{BC}{B_1C_1}$.

3. Дано: $MK \parallel PL$, $OM = 4$ см, $MP = 6$ см, $OK = 2$ см. Знайдіть $KL$.
А. $3$ см; Б. $12$ см; В. $5$ см; Г. $4$ см.

4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 9 см, а проєкція катета на гіпотенузу — 1 см.

5. $BD$ — бісектриса трикутника $ABC$, $AB = 12$ см, $BC = 16$ см. Більший з відрізків, на які бісектриса $BD$ ділить сторону $AC$, дорівнює 8 см. Знайдіть $AC$.

6. Хорда $MN$ завдовжки 14 см перетинає хорду $CD$ у точці $B$, $MB = 2$ см, $CB = 4$ см. Знайдіть довжину хорди $CD$.

7. Сторони трикутника відносяться як $4 : 5 : 7$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, сума більшої і меншої сторін якого дорівнює 22 см.

8. Точка $O$ — точка перетину діагоналей трапеції $ABCD$ з основами $AB$ і $CD$, $AB = 15$ см, $DC = 10$ см. Знайдіть відрізки $DO$ і $OB$, якщо $BD = 20$ см.

9. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 16 см і 20 см. Знайдіть висоту трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

Короткий розв'язок

1. $k = \frac{KL}{DE} = \frac{LM}{ET} = \frac{6}{5} \implies \frac{ET}{LM} = \frac{5}{6} \implies$ Г.

2. Рівність двох сторін та кута між ними — друга ознака подібності $\implies$ В.

3. $\triangle OMK \sim \triangle OPL \implies \frac{OM}{OP} = \frac{OK}{OL} \implies \frac{4}{10} = \frac{2}{OL} \implies OL = 5$. $KL = 5 - 2 = 3$ см.

4. $a^2 = a_c \cdot c \implies a^2 = 1 \cdot 9 = 9 \implies a = 3$ см.

5. $\frac{AD}{DC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. $DC = 8 \implies AD = 6$. $AC = 6 + 8 = 14$ см.

6. $NB = 14 - 2 = 12$. $MB \cdot NB = CB \cdot DB \implies 2 \cdot 12 = 4 \cdot DB \implies DB = 6$. $CD = 4 + 6 = 10$ см.

7. $4x + 7x = 22 \implies 11x = 22 \implies x = 2$. Сторони: $8, 10, 14$ см.

8. $\frac{OB}{OD} = \frac{15}{10} = 1.5$. $1.5x + x = 20 \implies 2.5x = 20 \implies DO = 8, OB = 12$ см.

9. $HD = \frac{20-16}{2} = 2, AH = 18$. $h^2 = 18 \cdot 2 = 36 \implies h = 6$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо ознаки подібності трикутників, властивість бісектриси, метричні співвідношення та властивість хорд.

1. За означенням подібних трикутників $\triangle KLM \sim \triangle DET$ відношення відповідних сторін дорівнює коефіцієнту подібності $k$: $\frac{KL}{DE} = \frac{LM}{ET} = \frac{6}{5}$. Отже, $\frac{LM}{ET} = \frac{6}{5}$, тоді обернене відношення $\frac{ET}{LM} = \frac{5}{6}$.
Відповідь: Г.

2. Друга ознака подібності: якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого і кути між ними рівні, то трикутники подібні. Умова В ($\angle C = \angle C_1$ та пропорційність прилеглих сторін) відповідає цій ознаці.
Відповідь: В.

3. Оскільки $MK \parallel PL$, то за двома кутами $\triangle OMK \sim \triangle OPL$. Відрізок $OP = OM + MP = 4 + 6 = 10$ см. Складаємо пропорцію: $\frac{OM}{OP} = \frac{OK}{OL} \implies \frac{4}{10} = \frac{2}{OL} \implies 4 \cdot OL = 20 \implies OL = 5$ см. Тоді $KL = OL - OK = 5 - 2 = 3$ см.
Відповідь: А.

4. У прямокутному трикутнику квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи та його проєкції на гіпотенузу:

$$a^2 = a_c \cdot c$$

$a^2 = 1 \cdot 9 = 9 \implies a = 3$ см.
Відповідь: 3 см.

5. За властивістю бісектриси: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. Нехай $AD = 3x, DC = 4x$. Оскільки $4x > 3x$, то $DC$ — більший відрізок, $4x = 8 \implies x = 2$. Тоді $AD = 3 \cdot 2 = 6$ см. $AC = AD + DC = 6 + 8 = 14$ см.
Відповідь: 14 см.

6. Для хорд, що перетинаються: $MB \cdot NB = CB \cdot DB$. Знайдемо $NB = MN - MB = 14 - 2 = 12$ см. Підставимо: $2 \cdot 12 = 4 \cdot DB \implies DB = 6$ см. Довжина хорди $CD = CB + DB = 4 + 6 = 10$ см.
Відповідь: 10 см.

7. Нехай сторони подібного трикутника дорівнюють $4x, 5x, 7x$. За умовою сума більшої ($7x$) і меншої ($4x$) сторін: $4x + 7x = 22 \implies 11x = 22 \implies x = 2$. Сторони: $4 \cdot 2 = 8$ см, $5 \cdot 2 = 10$ см, $7 \cdot 2 = 14$ см.
Відповідь: 8 см, 10 см, 14 см.

8. $\triangle AOB \sim \triangle COD$ за двома кутами. Відношення сегментів діагоналей дорівнює відношенню основ: $\frac{OB}{OD} = \frac{AB}{DC} = \frac{15}{10} = 1.5$. Отже, $OB = 1.5 \cdot OD$. Оскільки $OB + OD = 20$, маємо $1.5 \cdot OD + OD = 20 \implies 2.5 \cdot OD = 20 \implies OD = 8$ см. Тоді $OB = 20 - 8 = 12$ см.
Відповідь: 12 см і 8 см.

9. Проведемо висоту $BH$. У рівнобічній трапеції відрізок $HD = \frac{a+b}{2} = 18$ см, а відрізок $KC = \frac{a-b}{2} = 2$ см. Оскільки діагональ перпендикулярна бічній стороні, висота є середнім пропорційним між відрізками основи:

$$h^2 = 18 \cdot 2 = 36 \implies h = 6 \text{ см}$$

Відповідь: 6 см.