ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. $\triangle DEK \sim \triangle ABC$, $DE : AB = 4 : 5$. Знайдіть відношення $BC : EK$.
А. $4 : 5$; Б. $5 : 4$; В. $9 : 4$; Г. $5 : 9$.
2. Укажіть умови, за яких $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$.
А. $\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{LM}{L_1M_1} = \frac{KM}{K_1M_1}$; Б. $\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{LM}{L_1M_1}, \frac{LM}{L_1M_1} > \frac{KM}{K_1M_1}$;
В. $\angle K = \angle K_1, \frac{KL}{K_1L_1} \neq \frac{KM}{K_1M_1}$; Г. $\angle M = \angle M_1, \angle K = 90^\circ, \angle K_1 = 85^\circ$.
3. Дано: $AP \parallel MK$, $OA = 4$ см, $AM = 6$ см, $PK = 3$ см. Знайдіть $OP$.
А. $2,5$ см; Б. $4,5$ см; В. $1$ см; Г. $2$ см.
4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проєкція на гіпотенузу — 2 см, а гіпотенуза дорівнює 32 см.
5. $CM$ — бісектриса трикутника $ABC$, $AC = 8$ см, $BC = 10$ см. Менший з відрізків, на які бісектриса $CM$ ділить сторону $AB$, дорівнює 4 см. Знайдіть $AB$.
6. Хорда $KL$ завдовжки 11 см перетинає хорду $AB$ у точці $M$, $ML = 8$ см, $BM = 6$ см. Знайдіть довжину хорди $AB$.
7. Сторони трикутника відносяться як $3 : 7 : 8$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, сума меншої та середньої за розміром сторін якого дорівнює 30 см.
8. Діагоналі трапеції $ABCD$ з основами $AD$ і $BC$ перетинаються в точці $O$. $AO = 10$ см, $OC = 8$ см. Знайдіть основи трапеції, якщо їх різниця дорівнює 1 см.
9. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 10 см і 8 см. Знайдіть висоту трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна до бічної сторони.
Короткий розв'язок
1. $k = \frac{DE}{AB} = \frac{EK}{BC} = \frac{4}{5} \implies \frac{BC}{EK} = \frac{5}{4}$. Відповідь: Б.
2. Рівність трьох відношень відповідних сторін — третя ознака подібності (за трьома сторонами). Відповідь: А.
3. $\triangle OAP \sim \triangle OMK \implies \frac{OA}{OM} = \frac{OP}{OK} \implies \frac{4}{10} = \frac{OP}{OP+3} \implies 4OP + 12 = 10OP \implies OP = 2$ см. Відповідь: Г.
4. $a^2 = a_c \cdot c \implies a^2 = 2 \cdot 32 = 64 \implies a = 8$ см.
5. $\frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0.8$. $AM = 4 \implies MB = 5$. $AB = 4 + 5 = 9$ см.
6. $MK = 11 - 8 = 3$. $AM \cdot MB = KM \cdot ML \implies AM \cdot 6 = 3 \cdot 8 \implies AM = 4$. $AB = 4 + 6 = 10$ см.
7. $3x + 7x = 30 \implies 10x = 30 \implies x = 3$. Сторони: $9, 21, 24$ см.
8. $\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{10}{8} = 1.25$. $AD - BC = 1 \implies 0.25BC = 1 \implies BC = 4, AD = 5$ см.
9. $HD = \frac{10-8}{2} = 1, AH = 9$. $h^2 = 9 \cdot 1 = 9 \implies h = 3$ см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для виконання завдань використовуємо властивості подібних трикутників, властивість бісектриси, метричні співвідношення у прямокутному трикутнику та властивість хорд, що перетинаються.
1. Оскільки $\triangle DEK \sim \triangle ABC$, то відношення відповідних сторін рівні: $\frac{DE}{AB} = \frac{EK}{BC} = \frac{DK}{AC}$. За умовою $DE : AB = 4 : 5$. Отже, $\frac{EK}{BC} = \frac{4}{5}$. Шукане відношення $BC : EK = 5 : 4$.
Відповідь: Б.
2. Згідно з ознакою подібності трикутників за трьома сторонами, якщо відповідні сторони трикутників пропорційні, то такі трикутники подібні. Умова А повністю відображає пропорційність усіх трьох пар сторін.
Відповідь: А.
3. При $AP \parallel MK$ маємо $\triangle OAP \sim \triangle OMK$ (за двома кутами). Відрізок $OM = OA + AM = 4 + 6 = 10$ см. Складаємо пропорцію: $\frac{OA}{OM} = \frac{OP}{OK}$. Нехай $OP = x$, тоді $OK = x + 3$.
$\frac{4}{10} = \frac{x}{x+3} \implies 4(x+3) = 10x \implies 4x + 12 = 10x \implies 6x = 12 \implies x = 2$ см.
Відповідь: Г.
4. У прямокутному трикутнику катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проєкцією на неї:
Відповідь: 8 см.
5. За властивістю бісектриси трикутника: $\frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0.8$. Оскільки $AC < BC$, то меншим відрізком буде $AM = 4$ см. Тоді $\frac{4}{MB} = 0.8 \implies MB = 4 : 0.8 = 5$ см. Довжина сторони $AB = AM + MB = 4 + 5 = 9$ см.
Відповідь: 9 см.
6. Для хорд, що перетинаються: $AM \cdot MB = KM \cdot ML$. Знайдемо $KM = KL - ML = 11 - 8 = 3$ см. Підставимо дані: $AM \cdot 6 = 3 \cdot 8 \implies 6 \cdot AM = 24 \implies AM = 4$ см. Довжина хорди $AB = AM + MB = 4 + 6 = 10$ см.
Відповідь: 10 см.
7. Нехай сторони трикутника дорівнюють $3x, 7x, 8x$. За умовою сума меншої та середньої сторін: $3x + 7x = 30 \implies 10x = 30 \implies x = 3$.
Сторони: $3 \cdot 3 = 9$ см, $7 \cdot 3 = 21$ см, $8 \cdot 3 = 24$ см.
Відповідь: 9 см, 21 см, 24 см.
8. $\triangle AOD \sim \triangle COB$ за двома кутами. Відношення основ дорівнює відношенню сегментів діагоналей: $\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{10}{8} = 1.25$. Нехай $BC = x$, тоді $AD = 1.25x$. За умовою $AD - BC = 1$:
$1.25x - x = 1 \implies 0.25x = 1 \implies x = 4$ см ($BC$).
$AD = 4 + 1 = 5$ см.
Відповідь: 5 см і 4 см.
9. Проведемо висоту $CH$. У рівнобічній трапеції відрізок $HD = \frac{a-b}{2} = \frac{10-8}{2} = 1$ см. Відрізок $AH = 10 - 1 = 9$ см. Оскільки діагональ перпендикулярна до бічної сторони ($\angle ACD = 90^\circ$), висота $CH$ є середнім пропорційним між відрізками основи:
Відповідь: 3 см.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.