ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 5 см і 12 см.
А. 17 см; Б. 13 см; В. $\sqrt{119}$ см; Г. 15 см.

2. Укажіть за малюнком проєкцію похилої $AN$ на пряму $c$.
А. $MK$; Б. $MN$; В. $KN$; Г. $AM$.

3. Для трикутника $ABC$, зображеного на малюнку, знайдіть $\cos B$.
А. $\frac{3}{5}$; Б. $\frac{3}{4}$; В. $\frac{5}{4}$; Г. $\frac{4}{5}$.

4. Сторона ромба 17 см, а одна з його діагоналей — 16 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

5. Точка знаходиться на відстані 8 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, яка утворює з прямою кут $30^\circ$. Знайдіть довжину похилої та довжину проєкції похилої на пряму.

6. $AB$ — гіпотенуза прямокутного трикутника $ABC$, $AB = 10$ см, $\angle B = 27^\circ$. Розв'яжіть цей прямокутний трикутник (сторони трикутника знайдіть з точністю до сотих сантиметра).

7. $BK$ — висота трикутника $ABC$, $AB = 15$ см, $BC = 20$ см, $BK = 12$ см. Знайдіть $AC$.

8. У трикутнику $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $AC = 14$ см, $\sin A = \frac{24}{25}$. Знайдіть периметр трикутника.

9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 3 см і 5 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Короткий розв'язок

1. $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ см $\implies$ Б.

2. $KN \implies$ В.

3. $\cos B = \frac{CB}{AB} = \frac{4}{5} \implies$ Г.

4. $(\frac{d_2}{2})^2 = 17^2 - 8^2 = 225 \implies \frac{d_2}{2} = 15 \implies d_2 = 30$ см.

5. $L = \frac{8}{\sin 30^\circ} = 16$ см; $P = \frac{8}{\tan 30^\circ} = 8\sqrt{3} \approx 13,86$ см.

6. $\angle A = 63^\circ$; $AC = 10 \sin 27^\circ \approx 4,54$ см; $BC = 10 \cos 27^\circ \approx 8,91$ см.

7. $AK = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ см; $KC = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$ см; $AC = 9 + 16 = 25$ см.

8. $7k = 14 \implies k = 2$; $BC = 48$ см, $AB = 50$ см; $P = 14 + 48 + 50 = 112$ см.

9. $\frac{a}{c} = \frac{3}{5} \implies a = 3x, c = 5x$; $b = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x = 8 \implies x = 2$; $c = 10$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо теорему Піфагора, означення тригонометричних функцій гострого кута та властивості елементів прямокутного трикутника.

1. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ (см).}$$

Відповідь: Б.

2. Проєкцією похилої на пряму є відрізок на цій прямій, обмежений основою перпендикуляра та основою похилої. Для похилої $AN$ основою перпендикуляра $AK$ є точка $K$, а основою похилої — точка $N$. Отже, проєкція — відрізок $KN$.
Відповідь: В.

3. Косинус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Для кута $B$ прилеглим катетом є $BC = 4$, а гіпотенузою $AB = 5$:

$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}.$$

Відповідь: Г.

4. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться точкою перетину навпіл. Нехай $a = 17$ см, $d_1 = 16$ см. Тоді половина відомої діагоналі дорівнює 8 см. З прямокутного трикутника за теоремою Піфагора знайдемо половину другої діагоналі:

$$(\frac{d_2}{2})^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 \implies \frac{d_2}{2} = 15 \text{ (см).}$$

Тоді вся діагональ $d_2 = 15 \cdot 2 = 30$ см.
Відповідь: 30 см.

5. Нехай $h = 8$ см — перпендикуляр, $\alpha = 30^\circ$ — кут між похилою та прямою. Похила $L = \frac{h}{\sin \alpha} = \frac{8}{0,5} = 16$ см.
Проєкція $P = \frac{h}{\tan \alpha} = \frac{8}{\tan 30^\circ} = 8\sqrt{3} \approx 8 \cdot 1,732 = 13,856 \approx 13,86$ см.
Відповідь: 16 см та $\approx 13,86$ см.

6. 1) $\angle A = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$.
2) $AC = AB \cdot \sin 27^\circ = 10 \cdot 0,4540 \approx 4,54$ см.
3) $BC = AB \cdot \cos 27^\circ = 10 \cdot 0,8910 \approx 8,91$ см.
Відповідь: $63^\circ, \approx 4,54$ см, $\approx 8,91$ см.

7. Оскільки $BK$ — висота, вона утворює два прямокутні трикутники $\triangle ABK$ та $\triangle CBK$.
$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = 9$ см.
$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = 16$ см.
Оскільки висота проведена до сторони $AC$ (за контекстом малюнка), то $AC = AK + KC = 9 + 16 = 25$ см.
Відповідь: 25 см.

8. Нехай $BC = 24k, AB = 25k$. За теоремою Піфагора $AC = \sqrt{(25k)^2 - (24k)^2} = \sqrt{49k^2} = 7k$.
За умовою $7k = 14 \implies k = 2$.
Тоді $BC = 48$ см, $AB = 50$ см.
Периметр $P = 14 + 48 + 50 = 112$ см.
Відповідь: 112 см.

9. За властивістю бісектриси відношення катета до гіпотенузи дорівнює відношенню відповідних відрізків іншого катета: $\frac{a}{c} = \frac{3}{5} \implies a = 3x, c = 5x$.
Катет, до якого проведена бісектриса, дорівнює $3 + 5 = 8$ см. Другий катет $b = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x$.
Отже, $4x = 8 \implies x = 2$. Гіпотенуза $c = 5 \cdot 2 = 10$ см.
Відповідь: 10 см.