ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 6 см і 8 см.
А. 10 см; Б. $\sqrt{28}$ см; В. 14 см; Г. 12 см.

2. Укажіть за малюнком проєкцію похилої $CM$ на пряму $a$.
А. $LM$; Б. $LK$; В. $CL$; Г. $KM$.

3. Для трикутника $ABC$, зображеного на малюнку, знайдіть $\sin B$.
А. $\frac{15}{17}$; Б. $\frac{17}{8}$; В. $\frac{8}{17}$; Г. $\frac{8}{15}$.

4. Сторона ромба — 13 см, а одна з його діагоналей — 10 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

5. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, що утворює кут $60^\circ$ із прямою. Знайдіть довжину перпендикуляра та довжину похилої, якщо проєкція похилої дорівнює 3 см.

6. $AB$ — гіпотенуза прямокутного трикутника $ABC$, $AB = 8$ см, $\angle A = 43^\circ$. Розв'яжіть цей прямокутний трикутник (сторони трикутника знайдіть з точністю до сотих сантиметра).

7. $BL$ — висота трикутника $ABC$, $BC = 15$ см, $AB = 20$ см, $LC = 9$ см. Знайдіть $AC$.

8. У трикутнику $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $BC = 12$ см, $\cos A = \frac{3}{5}$. Знайдіть периметр трикутника.

9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 26 см і 10 см. Знайдіть інший катет трикутника.

Короткий розв'язок

1. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см $\implies$ А.

2. $KM \implies$ Г.

3. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17} \implies$ В.

4. $(\frac{d_2}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 144 \implies \frac{d_2}{2} = 12 \implies d_2 = 24$ см.

5. $h = 3 \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{3} \approx 5,20$ см; $L = \frac{3}{\cos 60^\circ} = 6$ см.

6. $\angle B = 47^\circ$; $AC = 8 \cos 43^\circ \approx 5,85$ см; $BC = 8 \sin 43^\circ \approx 5,46$ см.

7. $BL = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$ см; $AL = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$ см; $AC = 16 - 9 = 7$ см.

8. $4k = 12 \implies k = 3$; $AC = 9$ см, $AB = 15$ см; $P = 12 + 9 + 15 = 36$ см.

9. $\frac{c}{b} = \frac{26}{10} \implies c = 13k, b = 5k$; $144k^2 = 36^2 \implies k = 3$; $b = 15$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для виконання завдань застосовуємо метричні співвідношення, теорему Піфагора та правила розв'язування прямокутних трикутників.

1. За теоремою Піфагора гіпотенуза дорівнює кореню квадратному із суми квадратів катетів:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см).}$$

Відповідь: А.

2. Проєкцією похилої на пряму є відрізок, що сполучає основу перпендикуляра та основу похилої. Для похилої $CM$ основою перпендикуляра $CK$ є точка $K$, а основою похилої — точка $M$. Отже, проєкція — $KM$.
Відповідь: Г.

3. Синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи. Для кута $B$ протилежним катетом є $AC = 8$, а гіпотенузою — $AB = 17$:

$$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17}.$$

Відповідь: В.

4. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться точкою перетину навпіл. Нехай $a = 13$ см, $d_1 = 10$ см. У прямокутному трикутнику, утвореному половинами діагоналей та стороною, за теоремою Піфагора:

$$(\frac{d_2}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \implies \frac{d_2}{2} = 12 \text{ (см).}$$

Друга діагональ $d_2 = 12 \cdot 2 = 24$ см.
Відповідь: 24 см.

5. Нехай $h$ — перпендикуляр, $L$ — похила, $P = 3$ см — проєкція. Кут між похилою та прямою $\alpha = 60^\circ$.
$h = P \cdot \tan \alpha = 3 \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{3} \text{ (см)} \approx 5,20 \text{ см}.$
$L = \frac{P}{\cos \alpha} = \frac{3}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{0,5} = 6 \text{ (см)}.$
Відповідь: $3\sqrt{3}$ см та 6 см.

6. 1) $\angle B = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ$.
2) Катет $AC = AB \cdot \cos A = 8 \cdot \cos 43^\circ \approx 8 \cdot 0,7314 \approx 5,85$ см.
3) Катет $BC = AB \cdot \sin A = 8 \cdot \sin 43^\circ \approx 8 \cdot 0,6820 \approx 5,46$ см.
Відповідь: $47^\circ, \approx 5,85$ см, $\approx 5,46$ см.

7. У $\triangle BLC$ ($\angle L = 90^\circ$): $BL = \sqrt{BC^2 - LC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$ см.
У $\triangle BLA$ ($\angle L = 90^\circ$): $AL = \sqrt{AB^2 - BL^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$ см.
За малюнком точка $C$ лежить на відрізку $AL$, тому $AC = AL - LC = 16 - 9 = 7$ см.
Відповідь: 7 см.

8. Нехай $AC = 3k, AB = 5k$. За теоремою Піфагора $BC = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$.
За умовою $4k = 12 \implies k = 3$.
Сторони: $AC = 9$ см, $AB = 15$ см, $BC = 12$ см.
Периметр $P = 9 + 15 + 12 = 36$ см.
Відповідь: 36 см.

9. За властивістю бісектриси кута трикутника: $\frac{c}{b} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5} \implies c = 13k, b = 5k$.
Катет $a = 26 + 10 = 36$ см. За теоремою Піфагора:
$(13k)^2 - (5k)^2 = 36^2 \implies 144k^2 = 1296 \implies k^2 = 9 \implies k = 3$.
Інший катет $b = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Відповідь: 15 см.