ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 13 см, а другий катет — 5 см.
А. 7 см; Б. 9 см; В. 12 см; Г. $\sqrt{194}$ см.

2. Укажіть за малюнком проєкцію похилої $AB$ на пряму $c$.
А. $AK$; Б. $KD$; В. $BD$; Г. $AD$.

3. Для трикутника $ABC$, зображеного на малюнку, знайдіть $\text{tg} A$.
А. $\frac{7}{25}$; Б. $\frac{7}{24}$; В. $\frac{24}{25}$; Г. $\frac{24}{7}$.

4. Діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть сторону ромба.

5. Точка знаходиться на відстані 6 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, яка утворює з прямою кут $45^\circ$. Знайдіть довжину похилої та довжину проєкції похилої на пряму.

6. Трикутник $ABC$ — прямокутний ($\angle C = 90^\circ$), $AC = 8$ см, $\angle B = 40^\circ$. Розв'яжіть цей прямокутний трикутник (сторони трикутника знайдіть з точністю до сотих сантиметра).

7. $CK$ — висота трикутника $ABC$, $BC = 25$ см, $AC = 17$ см, $CK = 15$ см. Знайдіть $AB$.

8. У трикутнику $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $BC = 30$ см, $\sin B = \frac{8}{17}$. Знайдіть периметр трикутника.

9. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 30 см і 40 см. Знайдіть менший катет трикутника.

Короткий розв'язок

1. $a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ см $\implies$ В.

2. $AK \implies$ А.

3. $\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \implies$ Б.

4. $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см.

5. $L = \frac{6}{\sin 45^\circ} = 6\sqrt{2} \approx 8,49$ см; $P = 6$ см.

6. $\angle A = 50^\circ$; $BC = \frac{8}{\tan 40^\circ} \approx 9,53$ см; $AB = \frac{8}{\sin 40^\circ} \approx 12,45$ см.

7. $AK = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8$ см; $BK = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$ см; $AB = 20 - 8 = 12$ см.

8. $15k = 30 \implies k = 2$; $AC = 16$ см, $AB = 34$ см; $P = 34 + 30 + 16 = 80$ см.

9. $\frac{a}{b} = \frac{3}{4} \implies a = 3x, b = 4x$; $(3x)^2 + (4x)^2 = 70^2 \implies 25x^2 = 4900 \implies x = 14$; $a = 42$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо теорему Піфагора, тригонометричні співвідношення та властивості проєкцій і бісектрис у прямокутному трикутнику.

1. За теоремою Піфагора катет дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см).}$$

Відповідь: В.

2. На малюнку $BK \perp c$, отже точка $K$ є основою перпендикуляра. Похила $AB$ має основу в точці $A$. Проєкцією похилої на пряму є відрізок між цими точками, тобто $AK$.
Відповідь: А.

3. Тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. Для кута $A$ протилежним катетом є $BC = 7$, а прилеглим — $AC = 24$:

$$\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}.$$

Відповідь: Б.

4. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться точкою перетину навпіл. Розглянемо прямокутний трикутник з катетами $d_1/2 = 3$ см та $d_2/2 = 4$ см. За теоремою Піфагора сторона ромба (гіпотенуза):

$$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ (см).}$$

Відповідь: 5 см.

5. Нехай $h = 6$ см — перпендикуляр, $\alpha = 45^\circ$ — кут між похилою та прямою. Похила $L = \frac{h}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \approx 8,49$ см.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом $45^\circ$ проєкція дорівнює висоті: $P = h = 6$ см.
Відповідь: $\approx 8,49$ см та 6 см.

6. 1) Сума гострих кутів $90^\circ$, отже $\angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
2) Знайдемо катет $BC$: $BC = \frac{AC}{\tan B} = \frac{8}{\tan 40^\circ} \approx \frac{8}{0,8391} \approx 9,53$ см.
3) Знайдемо гіпотенузу $AB$: $AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{8}{\sin 40^\circ} \approx \frac{8}{0,6428} \approx 12,45$ см.
Відповідь: $50^\circ, \approx 9,53$ см, $\approx 12,45$ см.

7. З малюнка видно, що точка $A$ лежить на відрізку $BK$.
У $\triangle ACK$ ($\angle K = 90^\circ$): $AK = \sqrt{AC^2 - CK^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8$ см.
У $\triangle BCK$ ($\angle K = 90^\circ$): $BK = \sqrt{BC^2 - CK^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$ см.
Знайдемо $AB = BK - AK = 20 - 8 = 12$ см.
Відповідь: 12 см.

8. Нехай $AC = 8k, AB = 17k$. Тоді за теоремою Піфагора $BC = \sqrt{(17k)^2 - (8k)^2} = 15k$.
Оскільки $BC = 30$, то $15k = 30 \implies k = 2$.
Тоді $AC = 16$ см, $AB = 34$ см.
Периметр $P = 34 + 30 + 16 = 80$ см.
Відповідь: 80 см.

9. За властивістю бісектриси кута трикутника $\frac{a}{b} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \implies a = 3x, b = 4x$.
Гіпотенуза $c = 30 + 40 = 70$ см. За теоремою Піфагора:
$(3x)^2 + (4x)^2 = 70^2 \implies 25x^2 = 4900 \implies x^2 = 196 \implies x = 14$.
Менший катет $a = 3 \cdot 14 = 42$ см.
Відповідь: 42 см.