ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №7 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 15 см. Проєкція похилої на пряму дорівнює 12 см. Знайдіть довжину перпендикуляра.
А. 3 см; Б. $\sqrt{369}$ см; В. 6 см; Г. 9 см.

2. З точки $B$ до кола із центром $O$ проведено дотичну, $A$ — точка дотику, $AB = 24$ см, $AO = 7$ см. Знайдіть відстань від центра кола до точки $B$.

3. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 2 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо проєкції похилих дорівнюють 5 см і 9 см.

4. Одна з діагоналей паралелограма перпендикулярна до його сторони. Знайдіть більшу сторону паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 34 см і 16 см.

Короткий розв'язок

1. $h = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = 9$ см $\implies$ Г.

2. $OB = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = 25$ см.

3. $L_2 - L_1 = 2 \implies h^2 = L_1^2 - 5^2 = (L_1+2)^2 - 9^2$. $4L_1 = 52 \implies L_1 = 13$ см. $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ см.

4. $34^2 + 16^2 = 2(a^2 + b^2); b^2 = a^2 + 16^2 \implies 1412 = 4a^2 + 512 \implies a = 15$ см; $b = \sqrt{15^2 + 16^2} = \sqrt{481}$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо теорему Піфагора для обчислення невідомих сторін прямокутного трикутника та використовуємо властивість дотичної, яка завжди перпендикулярна до радіуса кола.

1. Нехай з точки до прямої проведено перпендикуляр $h$ та похилу $L = 15$ см. Проєкція похилої $a_c = 12$ см. За теоремою Піфагора утворюється прямокутний трикутник, де похила є гіпотенузою:

$$h = \sqrt{L^2 - a_c^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ (см).}$$

Відповідь: Г.

2. Оскільки $A$ — точка дотику, то радіус $OA$ перпендикулярний до дотичної $AB$ ($\angle A = 90^\circ$). Відстань від центра кола до точки $B$ є гіпотенузою трикутника $OAB$. За теоремою Піфагора:

$$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \text{ (см).}$$

Відповідь: 25 см.

3. Нехай довжина меншої похилої $L_1$, тоді більшої — $L_2 = L_1 + 2$. Відстань до прямої $h$ однакова для обох випадків. Виразимо її через проєкції (5 см та 9 см):

$$h^2 = L_1^2 - 5^2 \text{ та } h^2 = (L_1 + 2)^2 - 9^2$$

$L_1^2 - 25 = L_1^2 + 4L_1 + 4 - 81$
$4L_1 = 81 - 4 - 25$
$4L_1 = 52 \implies L_1 = 13$ (см).
Обчислимо відстань $h$: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ (см).
Відповідь: 12 см.

4. Нехай сторони паралелограма $a$ та $b$. Використаємо властивість діагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Нехай діагональ $d_2 = 16$ см перпендикулярна стороні $a$. У прямокутному трикутнику сторона $b$ буде гіпотенузою: $b^2 = a^2 + 16^2$.

$$34^2 + 16^2 = 2(a^2 + a^2 + 256)$$

$1156 + 256 = 4a^2 + 512$
$900 = 4a^2 \implies a^2 = 225 \implies a = 15$ (см).
Знайдемо більшу сторону $b$: $b^2 = 15^2 + 16^2 = 225 + 256 = 481 \implies b = \sqrt{481} \text{ (см).}$
Відповідь: $\sqrt{481}$ см.