ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №7 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до прямої, дорівнює 8 см. Із цієї самої точки проведено похилу, проєкція якої на пряму дорівнює 15 см. Знайдіть довжину похилої.
А. 17 см; Б. 7 см; В. $\sqrt{161}$ см; Г. 16 см.

2. З точки $C$ до кола із центром $O$ проведено дотичну, $D$ — точка дотику. Відстань від центра кола до точки $C$ дорівнює 15 см, $CD = 12$ см. Знайдіть $OD$.

3. З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких 17 см і 25 см, а різниця проєкцій похилих — 12 см. Знайдіть відстань від точки до прямої.

4. Діагоналі паралелограма дорівнюють 16 см і 20 см, а одна з них перпендикулярна до сторони паралелограма. Знайдіть більшу сторону паралелограма.

Короткий розв'язок

1. $L = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см $\implies$ А.

2. $OD = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

3. $17^2 - x^2 = 25^2 - (x+12)^2 \implies 289 - x^2 = 625 - (x^2 + 24x + 144) \implies 24x = 192 \implies x = 8$. $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ см.

4. $16^2 + 20^2 = 2(a^2 + b^2); b^2 = a^2 + 16^2 \implies 656 = 2(2a^2 + 256) \implies 4a^2 = 144 \implies a = 6$. $b = \sqrt{6^2 + 16^2} = \sqrt{292} = 2\sqrt{73}$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для знаходження невідомих елементів застосовуємо теорему Піфагора, пам'ятаючи, що дотична завжди перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

1. Розглянемо прямокутний трикутник, у якого катетами є перпендикуляр $h = 8$ см та проєкція $a_c = 15$ см. Похила $L$ є гіпотенузою цього трикутника. За теоремою Піфагора:

$$L = \sqrt{h^2 + a_c^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ (см)}$$

Відповідь: А.

2. Радіус $OD$ перпендикулярний до дотичної $CD$ у точці дотику $D$. Отже, $\triangle ODC$ — прямокутний ($\angle D = 90^\circ$). Відстань від центра до точки $C$ є гіпотенузою $OC = 15$ см, а відрізок дотичної — катетом $CD = 12$ см. Шукаємо катет $OD$ (радіус):

$$OD = \sqrt{OC^2 - CD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ (см)}$$

Відповідь: 9 см.

3. Нехай проєкція меншої похилої дорівнює $x$ см, тоді проєкція більшої — $(x + 12)$ см. Оскільки обидві похилі проведені з однієї точки, квадрат висоти $h$ (відстань до прямої) у них спільний. Виразимо $h^2$ за теоремою Піфагора для обох випадків:

$$h^2 = 17^2 - x^2 \text{ та } h^2 = 25^2 - (x + 12)^2$$

$289 - x^2 = 625 - (x^2 + 24x + 144)$
$289 = 481 - 24x$
$24x = 192 \implies x = 8$ (см).
Тепер знайдемо $h$: $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ (см).
Відповідь: 15 см.

4. Нехай сторони паралелограма дорівнюють $a$ і $b$. Скористаємося властивістю діагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. За умовою діагональ $d_1 = 16$ см перпендикулярна до сторони $a$. Тоді в прямокутному трикутнику сторона $b$ є гіпотенузою: $b^2 = a^2 + 16^2$. Підставимо це в рівняння діагоналей:

$$16^2 + 20^2 = 2(a^2 + a^2 + 256)$$

$256 + 400 = 4a^2 + 512$
$656 = 4a^2 + 512 \implies 4a^2 = 144 \implies a^2 = 36 \implies a = 6$ (см).
Знайдемо другу сторону $b$: $b^2 = 36 + 256 = 292 \implies b = \sqrt{292} = 2\sqrt{73} \approx 17,1$ (см).
Більша сторона дорівнює $2\sqrt{73}$ см.
Відповідь: $2\sqrt{73}$ см.