ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №7 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 15 см. Проєкція похилої на пряму дорівнює 12 см. Знайдіть довжину перпендикуляра.
А. 3 см; Б. $\sqrt{369}$ см; В. 6 см; Г. 9 см.

2. З точки $B$ до кола із центром $O$ проведено дотичну, $A$ — точка дотику, $AB = 24$ см, $AO = 7$ см. Знайдіть відстань від центра кола до точки $B$.

3. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 2 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо проєкції похилих дорівнюють 5 см і 9 см.

4. Одна з діагоналей паралелограма перпендикулярна до його сторони. Знайдіть більшу сторону паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 34 см і 16 см.

Короткий розв'язок

1. $h = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см $\implies$ Г.

2. $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см.

3. $L_2 - L_1 = 2 \implies h^2 = L_1^2 - 5^2 = (L_1+2)^2 - 9^2 \implies 4L_1 = 52 \implies L_1 = 13$ см. $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ см.

4. $34^2 + 16^2 = 2(a^2 + b^2); b^2 = a^2 + 16^2 \implies 1412 = 4a^2 + 512 \implies a = 15$ см; $b = \sqrt{15^2 + 16^2} = \sqrt{481}$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо теорему Піфагора для прямокутних трикутників та властивість дотичної до кола.

[Image of Pythagorean theorem in a right triangle]

1. За умовою маємо прямокутний трикутник, де похила є гіпотенузою ($L = 15$ см), а її проєкція — катетом ($a_c = 12$ см). Перпендикуляр $h$ є невідомим катетом. За теоремою Піфагора:

$$h = \sqrt{L^2 - a_c^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ (см)}$$

Відповідь: Г.

2. Оскільки $A$ — точка дотику, радіус $OA$ перпендикулярний до дотичної $AB$ ($\angle A = 90^\circ$). У прямокутному трикутнику $OAB$ катети $OA = 7$ см та $AB = 24$ см. Відстань від центра до точки $B$ є гіпотенузою $OB$:

$$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \text{ (см)}$$

Відповідь: 25 см.

3. Нехай довжина меншої похилої дорівнює $L_1$ см, тоді більшої — $(L_1 + 2)$ см. Квадрат висоти $h$ є спільним для обох прямокутних трикутників:

$$h^2 = L_1^2 - 5^2 \text{ та } h^2 = (L_1 + 2)^2 - 9^2$$

$L_1^2 - 25 = L_1^2 + 4L_1 + 4 - 81$
$4L_1 = 81 - 4 - 25$
$4L_1 = 52 \implies L_1 = 13$ (см).
Знайдемо відстань $h$: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ (см).
Відповідь: 12 см.

4. Нехай сторони паралелограма $a$ та $b$. Використаємо властивість суми квадратів діагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. За умовою $d_2 = 16$ см перпендикулярна до сторони $a$. Тоді гіпотенуза $b$ прямокутного трикутника дорівнює: $b^2 = a^2 + 16^2$. Підставимо у формулу:

$$34^2 + 16^2 = 2(a^2 + a^2 + 256)$$

$1156 + 256 = 4a^2 + 512$
$1412 = 4a^2 + 512 \implies 4a^2 = 900 \implies a^2 = 225 \implies a = 15$ (см).
Знайдемо більшу сторону $b$: $b^2 = 225 + 256 = 481 \implies b = \sqrt{481} \approx 21,9$ (см).
Більша сторона дорівнює $\sqrt{481}$ см.
Відповідь: $\sqrt{481}$ см.