ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №7 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до прямої, дорівнює 7 см, а довжина похилої, проведеної із цієї самої точки, — 25 см. Знайдіть проєкцію цієї похилої на цю пряму.
А. 22 см; Б. 18 см; В. 24 см; Г. $\sqrt{674}$ см.

2. З точки $A$ до кола із центром $O$ проведено дотичну, $B$ — точка дотику. Знайдіть відстань від точки $A$ до центра кола, якщо $AB = 8$ см, $OB = 6$ см.

3. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 8 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо проєкції похилих дорівнюють 8 см і 20 см.

4. Діагоналі паралелограма дорівнюють 10 см і 26 см, і одна з них перпендикулярна до сторони паралелограма. Знайдіть більшу сторону паралелограма.

Короткий розв'язок

1. $x = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ см $\implies$ В.

2. $OA = \sqrt{OB^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

3. $L_2 - L_1 = 8$. $h^2 = L_1^2 - 8^2 = (L_1+8)^2 - 20^2$. $16L_1 + 64 - 400 = -64 \implies 16L_1 = 272 \implies L_1 = 17$. $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ см.

4. $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \implies 26^2 + 10^2 = 2(a^2 + a^2 + 10^2) \implies 776 = 4a^2 + 200 \implies 4a^2 = 576 \implies a = 12$. $b = \sqrt{12^2 + 10^2} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо теорему Піфагора для прямокутних трикутників, властивість дотичної до кола (радіус перпендикулярний дотичній) та зв'язок між похилими і їх проєкціями.

1. Нехай з точки до прямої проведено перпендикуляр $h = 7$ см та похилу $L = 25$ см. Утворений прямокутний трикутник має катети $h$ та $x$ (проєкція), а гіпотенузу $L$. За теоремою Піфагора:

$$x = \sqrt{L^2 - h^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \text{ (см)}$$

Відповідь: В.

2. Радіус кола $OB$, проведений у точку дотику $B$, перпендикулярний до дотичної $AB$. Отже, $\triangle OBA$ — прямокутний ($\angle B = 90^\circ$). За теоремою Піфагора шукаємо відстань $OA$:

$$OA^2 = OB^2 + AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

$OA = \sqrt{100} = 10$ (см).
Відповідь: 10 см.

3. Нехай довжина першої похилої $x$ см, тоді другої — $(x + 8)$ см. Їх проєкції $8$ см та $20$ см відповідно. Оскільки обидві похилі проведені з однієї точки, квадрат висоти $h$ однаковий для обох трикутників:

$$h^2 = x^2 - 8^2 = (x + 8)^2 - 20^2$$

$x^2 - 64 = x^2 + 16x + 64 - 400$
$16x = 400 - 64 - 64$
$16x = 272 \implies x = 17$ (см).
Знайдемо відстань $h$: $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ (см).
Відповідь: 15 см.

4. У паралелограмі сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів його сторін: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Нехай діагональ $BD = 10$ см перпендикулярна стороні $AD = a$. Тоді в $\triangle ABD$ ($\angle D = 90^\circ$) сторона $AB = b$ є гіпотенузою: $b^2 = a^2 + 10^2$.

$$26^2 + 10^2 = 2(a^2 + a^2 + 100)$$

$676 + 100 = 4a^2 + 200$
$576 = 4a^2 \implies a^2 = 144 \implies a = 12$ (см).
Тоді $b^2 = 144 + 100 = 244 \implies b = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ (см).
Більша сторона дорівнює $2\sqrt{61}$ см.
Відповідь: $2\sqrt{61}$ см.