ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №7 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Перпендикуляр, проведений з даної точки до прямої, дорівнює 12 см. Із цієї самої точки проведено похилу, проєкція якої на пряму дорівнює 5 см. Знайдіть довжину похилої.
А. $\sqrt{119}$ см; Б. 13 см; В. 17 см; Г. 15 см.

2. З точки $M$ до кола із центром $O$ проведено дотичну, $K$ — точка дотику. Відстань від точки $M$ до центра кола дорівнює 17 см, $OK = 8$ см. Знайдіть $KM$.

3. З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких 13 см і 20 см, а різниця проєкцій похилих — 11 см. Знайдіть відстань від точки до прямої.

4. Одна з діагоналей паралелограма перпендикулярна до його сторони. Знайдіть більшу сторону паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 12 см і 20 см.

Короткий розв'язок

1. $L = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \implies \text{Б}$.

2. $KM = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

3. $13^2 - x^2 = 20^2 - (x+11)^2 \implies 169 - x^2 = 400 - x^2 - 22x - 121 \implies 22x = 110 \implies x = 5$; $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$.

4. $20^2 + 12^2 = 2(a^2 + b^2); b^2 = a^2 + 12^2 \implies 544 = 2(2a^2 + 144) \implies 4a^2 = 256 \implies a = 8$; $b = \sqrt{8^2 + 12^2} = 4\sqrt{13}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо теорему Піфагора, враховуючи, що радіус кола перпендикулярний до дотичної в точці дотику, а висота до прямої є спільним катетом для трикутників, утворених похилими.

1. Перпендикуляр $h = 12$ см та проєкція $a_c = 5$ см є катетами прямокутного трикутника. Похила $L$ є його гіпотенузою. За теоремою Піфагора:

$$L = \sqrt{h^2 + a_c^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ (см)}$$

Відповідь: Б.

2. Радіус $OK$, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної $KM$. Отже, $\triangle OKM$ — прямокутний ($\angle K = 90^\circ$). Гіпотенуза $OM = 17$ см, катет $OK = 8$ см. Шукаємо катет $KM$:

$$KM = \sqrt{OM^2 - OK^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ (см)}$$

Відповідь: 15 см.

3. Нехай проєкція меншої похилої дорівнює $x$ см, тоді проєкція більшої — $(x + 11)$ см. Висота $h$ є спільним катетом. Виразимо $h^2$ з обох трикутників:

$$h^2 = 13^2 - x^2 \text{ та } h^2 = 20^2 - (x + 11)^2$$

$169 - x^2 = 400 - (x^2 + 22x + 121)$
$169 = 279 - 22x$
$22x = 110 \implies x = 5$ (см).
Відстань до прямої $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ (см).
Відповідь: 12 см.

4. Нехай сторони паралелограма $a$ і $b$. За властивістю діагоналей $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Нехай діагональ $d_2 = 12$ см перпендикулярна стороні $a$. Тоді в прямокутному трикутнику сторона $b$ є гіпотенузою: $b^2 = a^2 + 12^2$.

$$20^2 + 12^2 = 2(a^2 + a^2 + 144)$$

$544 = 4a^2 + 288 \implies 4a^2 = 256 \implies a^2 = 64 \implies a = 8$ (см).
Тоді $b^2 = 64 + 144 = 208 \implies b = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$ (см).
Оскільки $4\sqrt{13} \approx 14,4 > 8$, то більша сторона дорівнює $4\sqrt{13}$ см.
Відповідь: $4\sqrt{13}$ см.