ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть малюнок, на якому зображено п'ятикутник, вписаний у коло.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 6 см і 7 см.
А. 13 см²; Б. 42 см²; В. 26 см²; Г. 21 см².

3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 9 см, а висота, проведена до неї, — 4 см.
А. 18 см²; Б. 13 см²; В. 36 см²; Г. 26 см².

4. Обчисліть суму кутів опуклого 13-кутника.

5. Площа трикутника дорівнює 45 см², а одна з його сторін — 18 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.

6. Площа трапеції дорівнює 24 см², одна з її основ — 5 см, а висота — 4 см. Знайдіть другу основу трапеції.

7. Прямокутник зі сторонами 10 дм і 9,5 дм розрізали на квадрати, сторона кожного з яких 0,5 дм. Скільки утворилося квадратів?

8. Знайдіть площу ромба, одна з діагоналей якого дорівнює 24 см, а сторона — 13 см.

9. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей трапеції віддалена від основ на 6 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції.

Короткий розв'язок

1. На малюнку Б зображено п'ятикутник, усі вершини якого лежать на колі. Відповідь: Б.

2. $S = 6 \cdot 7 = 42$ см² $\implies$ Б.

3. $S = 9 \cdot 4 = 36$ см² $\implies$ В.

4. $S_{13} = 180^\circ \cdot (13 - 2) = 180^\circ \cdot 11 = 1980^\circ$.

5. $h = (2 \cdot 45) : 18 = 90 : 18 = 5$ см.

6. $24 = \frac{5 + b}{2} \cdot 4 \implies 12 = 5 + b \implies b = 7$ см.

7. $N = (10 : 0,5) \cdot (9,5 : 0,5) = 20 \cdot 19 = 380$.

8. $d_2 = 2 \sqrt{13^2 - 12^2} = 10$ см. $S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120$ см².

9. $h = 6 + 5 = 11$ см; $12 / b = 6 / 5 \implies b = 10$ см. $S = \frac{12 + 10}{2} \cdot 11 = 121$ см².

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо формули площ для прямокутника ($S = ab$), паралелограма ($S = ah$), трикутника ($S = \frac{1}{2}ah$) та трапеції ($S = \frac{a+b}{2}h$), а також властивості многокутників.

1. Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Ця умова виконується для малюнка Б.
Відповідь: Б.

2. Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін:

$$S = a \cdot b = 6 \cdot 7 = 42 \text{ (см²).}$$

Відповідь: Б.

3. Площа паралелограма обчислюється як добуток сторони на висоту, проведену до неї:

$$S = a \cdot h = 9 \cdot 4 = 36 \text{ (см²).}$$

Відповідь: В.

4. Сума кутів опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $180^\circ \cdot (n - 2)$. Для $n = 13$:

$$S_{13} = 180^\circ \cdot (13 - 2) = 180^\circ \cdot 11 = 1980^\circ.$$

Відповідь: 1980°.

5. З формули площі трикутника $S = \frac{1}{2}ah$ виразимо висоту:

$$h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 45}{18} = \frac{90}{18} = 5 \text{ (см).}$$

Відповідь: 5 см.

6. Використаємо формулу площі трапеції $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$:

$$24 = \frac{5 + b}{2} \cdot 4 \implies 24 = (5 + b) \cdot 2 \implies 12 = 5 + b \implies b = 7 \text{ (см).}$$

Відповідь: 7 см.

7. Знайдемо кількість квадратів вздовж кожної сторони:
1) $10 : 0,5 = 20$ (квадратів вздовж першої сторони).
2) $9,5 : 0,5 = 19$ (квадратів вздовж другої сторони).
3) Загальна кількість $N = 20 \cdot 19 = 380$.
Відповідь: 380.

8. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться точкою перетину навпіл. Нехай $d_1 = 24$ см. Тоді катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а гіпотенуза (сторона ромба) — 13 см. Знайдемо половину другої діагоналі $x$:

$$x = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5 \text{ (см).}$$

Тоді друга діагональ $d_2 = 5 \cdot 2 = 10$ см. Площа ромба:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120 \text{ (см²).}$$

Відповідь: 120 см².

9. У рівнобічній трапеції трикутники, утворені основами та точкою перетину діагоналей, є подібними. Відношення їх висот дорівнює відношенню основ. Нехай $a = 12$ см — більша основа, а $h_a = 6$ см — відстань до неї (оскільки вона більша за 5 см). Тоді:
1) Висота трапеції $h = 6 + 5 = 11$ см.
2) З подібності трикутників: $\frac{a}{b} = \frac{h_a}{h_b} \implies \frac{12}{b} = \frac{6}{5} \implies 6b = 60 \implies b = 10$ см.
3) Площа трапеції $S = \frac{12 + 10}{2} \cdot 11 = 11 \cdot 11 = 121$ (см²).
Відповідь: 121 см².