ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть малюнок, на якому зображено шестикутник, вписаний у коло.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 8 см і 6 см.
А. 14 см²; Б. 24 см²; В. 48 см²; Г. 28 см².

3. Знайдіть площу паралелограма, одна з висот якого дорівнює 7 см, а сторона, до якої вона проведена, — 4 см.
А. 11 см²; Б. 22 см²; В. 28 см²; Г. 14 см².

4. Обчисліть суму кутів опуклого 8-кутника.

5. Одна зі сторін трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до неї, якщо площа трикутника дорівнює 12 см².

6. Площа трапеції дорівнює 36 см², а висота трапеції — 6 см. Знайдіть основу трапеції, якщо друга її основа дорівнює 7 см.

7. Прямокутник зі сторонами 4 дм і 3,6 дм розрізали на квадрати, сторона кожного з яких 0,2 дм. Скільки утворилося квадратів?

8. Сторона ромба дорівнює 10 см, а одна з діагоналей — 16 см. Знайдіть площу ромба.

9. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 8 см. Точка перетину діагоналей трапеції віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

Короткий розв'язок

1. На малюнку В зображено шестикутник, усі вершини якого лежать на колі. Відповідь: В.

2. $S = 8 \cdot 6 = 48$ см² $\implies$ В.

3. $S = 4 \cdot 7 = 28$ см² $\implies$ В.

4. $S_8 = 180^\circ \cdot (8 - 2) = 1080^\circ$.

5. $h = (2 \cdot 12) : 8 = 3$ см.

6. $36 = \frac{a + 7}{2} \cdot 6 \implies 12 = a + 7 \implies a = 5$ см.

7. $N = (4 : 0,2) \cdot (3,6 : 0,2) = 20 \cdot 18 = 360$.

8. $d_2 = 2 \sqrt{10^2 - 8^2} = 12$ см; $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см².

9. $a = (8 \cdot 3) : 2 = 12$ см; $h = 2 + 3 = 5$ см; $S = \frac{12 + 8}{2} \cdot 5 = 50$ см².

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо формули для обчислення площ многокутників та суми кутів $n$-кутника, а також властивості подібних трикутників у трапеції.

1. Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Цій умові відповідає малюнок В.
Відповідь: В.

2. Площа прямокутника обчислюється за формулою:

$$S = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 \text{ (см²).}$$

Відповідь: В.

3. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї:

$$S = a \cdot h = 4 \cdot 7 = 28 \text{ (см²).}$$

Відповідь: В.

4. Сума кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ \cdot (n - 2)$. Для восьмикутника ($n = 8$):

$$S_8 = 180^\circ \cdot (8 - 2) = 180^\circ \cdot 6 = 1080^\circ.$$

Відповідь: 1080°.

5. Площа трикутника $S = \frac{1}{2}ah$. Виразимо висоту:

$$h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 12}{8} = \frac{24}{8} = 3 \text{ (см).}$$

Відповідь: 3 см.

6. Використаємо формулу площі трапеції $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$:

$$36 = \frac{a + 7}{2} \cdot 6 \implies 36 = (a + 7) \cdot 3 \implies 12 = a + 7 \implies a = 5 \text{ (см).}$$

Відповідь: 5 см.

7. Кількість квадратів дорівнює добутку кількостей квадратів, що поміщаються вздовж кожної сторони:

$$N = \frac{4}{0,2} \cdot \frac{3,6}{0,2} = 20 \cdot 18 = 360.$$

Відповідь: 360.

8. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться точкою перетину навпіл. Нехай відома діагональ $d_1 = 16$ см. Половина діагоналі $8$ см є катетом прямокутного трикутника з гіпотенузою $10$ см (сторона ромба). Знайдемо половину другої діагоналі:

$$\frac{d_2}{2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = 6 \text{ (см).}$$

Тоді $d_2 = 12$ см. Площа ромба:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \text{ (см²).}$$

Відповідь: 96 см².

9. Точка перетину діагоналей трапеції утворює подібні трикутники з основами. Відношення їх висот ($2$ см та $3$ см) дорівнює відношенню основ. Оскільки основа $8$ см менша, вона відповідає меншій висоті:

$$\frac{8}{a} = \frac{2}{3} \implies 2a = 24 \implies a = 12 \text{ (см).}$$

Висота трапеції $h = 2 + 3 = 5$ см. Площа:

$$S = \frac{8 + 12}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 \text{ (см²).}$$

Відповідь: 50 см².