ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть малюнок, на якому зображено п'ятикутник, вписаний у коло.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 6 см і 5 см.
А. 30 см²; Б. 15 см²; В. 11 см²; Г. 22 см².

3. Знайдіть площу паралелограма, одна з висот якого дорівнює 8 см, а сторона, до якої вона проведена, — 10 см.
А. 40 см²; Б. 80 см²; В. 18 см²; Г. 36 см².

4. Обчисліть суму кутів опуклого 11-кутника.

5. Площа трикутника дорівнює 26 см². Знайдіть сторону трикутника, якщо висота, проведена до неї, дорівнює 4 см.

6. Основи трапеції дорівнюють 9 см і 3 см. Знайдіть висоту трапеції, якщо її площа 30 см².

7. Прямокутник зі сторонами 9 дм і 7,5 дм розрізали на квадрати, сторона кожного з яких 0,5 дм. Скільки утворилося квадратів?

8. Одна з діагоналей ромба дорівнює 40 см, а його сторона — 25 см. Знайдіть площу ромба.

9. Точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції віддалена від основ на 4 см і 7 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см.

Короткий розв'язок

1. Малюнок А — всі вершини на колі. Відповідь: А.

2. $S = 6 \cdot 5 = 30$ см² $\implies$ А.

3. $S = 10 \cdot 8 = 80$ см² $\implies$ Б.

4. $S_{11} = 180^\circ \cdot (11 - 2) = 180^\circ \cdot 9 = 1620^\circ$.

5. $a = (2 \cdot 26) : 4 = 52 : 4 = 13$ см.

6. $h = (2 \cdot 30) : (9 + 3) = 60 : 12 = 5$ см.

7. $N = (9 : 0,5) \cdot (7,5 : 0,5) = 18 \cdot 15 = 270$.

8. $d_2 = 2 \sqrt{25^2 - 20^2} = 30$ см; $S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$ см².

9. $a = (8 \cdot 7) : 4 = 14$ см; $h = 4 + 7 = 11$ см; $S = \frac{14 + 8}{2} \cdot 11 = 121$ см².

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо формули для обчислення площ многокутників (прямокутника, паралелограма, трикутника та трапеції) та властивості вписаних фігур.

1. Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Цій умові відповідає малюнок А.
Відповідь: А.

2. Площа прямокутника обчислюється як добуток довжин його суміжних сторін:

$$S = a \cdot b = 6 \cdot 5 = 30 \text{ (см²).}$$

Відповідь: А.

3. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену саме до цієї сторони:

$$S = a \cdot h = 10 \cdot 8 = 80 \text{ (см²).}$$

Відповідь: Б.

4. Сума кутів будь-якого опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $180^\circ \cdot (n - 2)$. Для $n = 11$:

$$S_{11} = 180^\circ \cdot (11 - 2) = 180^\circ \cdot 9 = 1620^\circ.$$

Відповідь: 1620°.

5. Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту ($S = \frac{1}{2}ah$). Знайдемо сторону:

$$a = \frac{2S}{h} = \frac{2 \cdot 26}{4} = \frac{52}{4} = 13 \text{ (см).}$$

Відповідь: 13 см.

6. Використовуючи формулу площі трапеції $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, знайдемо висоту:

$$30 = \frac{9 + 3}{2} \cdot h \implies 30 = 6 \cdot h \implies h = 5 \text{ (см).}$$

Відповідь: 5 см.

7. Знайдемо, скільки квадратів зі стороною 0,5 дм поміщається вздовж кожної сторони прямокутника:
1) $9 : 0,5 = 18$ (шт).
2) $7,5 : 0,5 = 15$ (шт).
3) Загальна кількість $N = 18 \cdot 15 = 270$.
Відповідь: 270.

8. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл. Нехай $d_1 = 40$ см. У прямокутному трикутнику, утвореному половинами діагоналей та стороною ($a = 25$ см), знайдемо половину другої діагоналі $x$:

$$x = \sqrt{25^2 - (40/2)^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15 \text{ (см).}$$

Тоді $d_2 = 15 \cdot 2 = 30$ см. Площа ромба:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600 \text{ (см²).}$$

Відповідь: 600 см².

9. Точка перетину діагоналей трапеції утворює два подібні трикутники, основи яких — основи трапеції. Відношення їх висот ($4$ см та $7$ см) дорівнює відношенню основ. Оскільки основа $8$ см менша, вона відповідає меншій відстані ($4$ см):
1) Висота трапеції $h = 4 + 7 = 11$ см.
2) Знайдемо більшу основу $a$: $\frac{a}{8} = \frac{7}{4} \implies 4a = 56 \implies a = 14$ см.
3) Площа трапеції $S = \frac{14 + 8}{2} \cdot 11 = 11 \cdot 11 = 121$ (см²).
Відповідь: 121 см².