ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Знайдіть периметр паралелограма, сторони якого дорівнюють 7 см і 5 см.
А. 12 см; Б. 35 см; В. 24 см; Г. 22 см.

2. Гострий кут ромба дорівнює 70°. Знайдіть тупий кут ромба.
А. 120°; Б. 110°; В. 100°; Г. 20°.

3. Знайдіть площу трикутника, одна зі сторін якого дорівнює 12 см, а висота, проведена до неї, — 5 см.
А. 15 см²; Б. 60 см²; В. 17 см²; Г. 30 см².

4. Середня лінія трапеції дорівнює 10 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 4 см більша за іншу.

5. $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$, $KL = 9$ см, $KM = 12$ см, $K_1M_1 = 8$ см, $L_1M_1 = 12$ см. Знайдіть $K_1L_1$ і $LM$.

6. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 6 см. Знайдіть довжину медіани трикутника, проведеної до більшого катета.

7. Розв'яжіть трикутник $ABC$, у якого $\angle C = 90^\circ$, $AC = 7$ см, $BC = 24$ см (кути трикутника знайдіть з точністю до градуса).

8. Знайдіть сторони прямокутника, якщо вони відносяться як $3 : 4$, а площа прямокутника дорівнює 300 см².

9. Точка дотику кола, вписаного в рівнобічну трапецію, ділить її бічну сторону на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.

Короткий розв'язок

1. $P = 2(7 + 5) = 24$ см $\implies$ В.

2. $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \implies$ Б.

3. $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см² $\implies$ Г.

4. $(x + x+4)/2 = 10 \implies 2x+4 = 20 \implies x=8, x+4=12$. Основи: 8 см, 12 см.

5. $k = 12/8 = 1,5$. $K_1L_1 = 9/1,5 = 6$ см; $LM = 12 \cdot 1,5 = 18$ см.

6. $m = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$ см.

7. $c = 25$ см, $\angle A \approx 74^\circ, \angle B \approx 16^\circ$.

8. $12x^2 = 300 \implies x=5$. Сторони: 15 см, 20 см.

9. $h = 4, a = 2, b = 8$. $S = \frac{2+8}{2} \cdot 4 = 20$ см².

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо базові властивості чотирикутників, теорему Піфагора, ознаки подібності трикутників та формули площ для підсумкової перевірки знань за курс 8 класу.

1. Периметр паралелограма дорівнює подвоєній сумі його сусідніх сторін:

$$P = 2(a + b) = 2(7 + 5) = 2 \cdot 12 = 24 \text{ (см).}$$

Відповідь: В.

2. Сума сусідніх кутів ромба (як і паралелограма) дорівнює 180°. Знайдемо тупий кут:

$$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.$$

Відповідь: Б.

3. Площа трикутника обчислюється як половина добутку сторони на висоту, проведену до неї:

$$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30 \text{ (см²).}$$

Відповідь: Г.

4. Нехай менша основа трапеції дорівнює $x$ см, тоді більша — $(x + 4)$ см. Середня лінія дорівнює півсумі основ:

$$\frac{x + (x + 4)}{2} = 10 \implies 2x + 4 = 20 \implies 2x = 16 \implies x = 8 \text{ (см).}$$

Більша основа: $8 + 4 = 12$ (см).
Відповідь: 8 см, 12 см.

5. У подібних трикутниках відношення відповідних сторін рівне. Знайдемо коефіцієнт подібності $k$ через сторони $KM$ та $K_1M_1$:

$$k = \frac{KM}{K_1M_1} = \frac{12}{8} = 1,5.$$

Тепер знайдемо невідомі сторони:

$$K_1L_1 = \frac{KL}{k} = \frac{9}{1,5} = 6 \text{ (см).}$$

$$LM = L_1M_1 \cdot k = 12 \cdot 1,5 = 18 \text{ (см).}$$

Відповідь: $K_1L_1 = 6$ см, $LM = 18$ см.

6. Більший катет дорівнює 6 см. Медіана ділить його навпіл на відрізки по 3 см. Розглянемо прямокутний трикутник, катетами якого є менший катет (5 см) та половина більшого (3 см). За теоремою Піфагора:

$$m = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \text{ (см).}$$

Відповідь: $\sqrt{34}$ см.

7. 1) Гіпотенуза $c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ (см).
2) Знайдемо гострі кути: $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{25} = 0,96$. За таблицями $\angle A \approx 74^\circ$.
3) $\angle B = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ$.
Відповідь: $c = 25$ см, $\angle A \approx 74^\circ, \angle B \approx 16^\circ$.

8. Нехай сторони прямокутника $3x$ та $4x$. Площа $S = 3x \cdot 4x = 12x^2$.

$$12x^2 = 300 \implies x^2 = 25 \implies x = 5.$$

Сторони: $3 \cdot 5 = 15$ (см) та $4 \cdot 5 = 20$ (см).
Відповідь: 15 см, 20 см.

9. Властивість описаної рівнобічної трапеції: відрізки від вершин до точок дотику на основі дорівнюють відповідним відрізкам на бічній стороні.
1) Верхня основа $a = 2 \cdot 1 = 2$ см, нижня основа $b = 2 \cdot 4 = 8$ см.
2) Бічна сторона $c = 1 + 4 = 5$ см. Проєкція бічної сторони на основу: $(8 - 2) / 2 = 3$ см.
3) Висота $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см.
4) Площа $S = \frac{2 + 8}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ (см²).
Відповідь: 20 см².