ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 5 см. Знайдіть периметр паралелограма.
А. 22 см; Б. 11 см; В. 30 см; Г. 44 см.
2. Гострий кут ромба дорівнює 20°. Знайдіть тупий кут ромба.
А. 170°; Б. 160°; В. 150°; Г. 70°.
3. Одна зі сторін трикутника дорівнює 9 см, а висота, проведена до неї, — 4 см. Знайдіть площу трикутника.
А. 13 см²; Б. 36 см²; В. 18 см²; Г. 9 см².
4. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 6 см більша за іншу, а середня лінія трапеції дорівнює 13 см.
5. $\triangle TFC \sim \triangle T_1F_1C_1$, $TF = 10$ см, $FC = 15$ см, $F_1C_1 = 6$ см, $T_1C_1 = 8$ см. Знайдіть $T_1F_1$ і $TC$.
6. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 7 см. Знайдіть довжину медіани трикутника, проведеної до меншого катета.
7. Розв'яжіть трикутник $ABC$, у якого $\angle C = 90^\circ$, $AB = 17$ см, $BC = 8$ см (кути трикутника знайдіть з точністю до градуса).
8. Сторони прямокутника відносяться як $5 : 3$, а його площа дорівнює 240 см². Знайдіть сторони прямокутника.
9. Точка дотику кола, вписаного в рівнобічну трапецію, ділить її бічну сторону на відрізки 9 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.
Короткий розв'язок
1. $P = 2(6 + 5) = 22$ см $\implies$ А.
2. $180^\circ - 20^\circ = 160^\circ \implies$ Б.
3. $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18$ см² $\implies$ В.
4. $(x + x+6)/2 = 13 \implies 2x+6 = 26 \implies x=10$. Основи: 10 см і 16 см.
5. $k = 15/6 = 2,5$. $T_1F_1 = 10 / 2,5 = 4$ см; $TC = 8 \cdot 2,5 = 20$ см.
6. $m = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{58}$ см.
7. $AC = 15$ см, $\angle A \approx 28^\circ, \angle B \approx 62^\circ$.
8. $15x^2 = 240 \implies x = 4$. Сторони: 20 см і 12 см.
9. $r=6, h=12, a=8, b=18. S = \frac{8+18}{2} \cdot 12 = 156$ см².
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо знання про суму кутів опуклих чотирикутників, теорему Піфагора для знаходження медіан та висот, а також ознаки подібності трикутників.
1. Периметр паралелограма обчислюється як подвоєна сума двох його сусідніх сторін:
2. Сума двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Знайдемо тупий кут ромба:
3. Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, що проведена саме до неї:
4. Нехай менша основа трапеції дорівнює $x$ см, тоді більша — $(x + 6)$ см. Середня лінія дорівнює півсумі основ:
Відповідь: 10 см і 16 см.
5. Оскільки трикутники подібні, відношення відповідних сторін рівне. Знайдемо коефіцієнт подібності $k$ за сторонами $FC$ та $F_1C_1$:
6. Менший катет дорівнює 6 см. Медіана ділить його навпіл на відрізки по 3 см. Розглянемо прямокутний трикутник, де медіана є гіпотенузою, а катетами — інший катет (7 см) та половина меншого (3 см). За теоремою Піфагора:
7. 1) Знайдемо катет $AC$ за теоремою Піфагора:
3) $\angle B = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.
Відповідь: $AC = 15$ см, $\angle A \approx 28^\circ, \angle B \approx 62^\circ$.
8. Нехай сторони прямокутника $5x$ та $3x$. Площа $S = 5x \cdot 3x = 15x^2$.
Відповідь: 20 см і 12 см.
9. В описаній рівнобічній трапеції висота $h$ дорівнює діаметру вписаного кола ($h = 2r$), а радіус обчислюється як середнє геометричне відрізків бічної сторони: $r = \sqrt{9 \cdot 4} = 6$ см. Отже, $h = 12$ см.
Основи трапеції дорівнюють подвоєним відповідним відрізкам бічної сторони (за властивістю дотичних): $a = 2 \cdot 4 = 8$ см, $b = 2 \cdot 9 = 18$ см.
Площа трапеції:
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.