ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Знайдіть периметр паралелограма, сторони якого дорівнюють 8 см і 4 см.
А. 48 см; Б. 32 см; В. 12 см; Г. 24 см.

2. Тупий кут ромба дорівнює 110°. Знайдіть гострий кут ромба.
А. 20°; Б. 60°; В. 70°; Г. 80°.

3. Знайдіть площу трикутника, одна зі сторін якого дорівнює 7 см, а висота, проведена до неї, дорівнює 8 см.
А. 56 см²; Б. 28 см²; В. 14 см²; Г. 15 см².

4. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них утричі більша за іншу.

5. $\triangle TKN \sim \triangle T_1K_1N_1$, $TK = 6$ см, $TN = 8$ см, $T_1N_1 = 20$ см, $K_1N_1 = 25$ см. Знайдіть $T_1K_1$ і $KN$.

6. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 5 см. Визначте довжину медіани трикутника, що проведена до більшого катета.

7. Розв'яжіть трикутник $ABC$, у якого $\angle C = 90^\circ$, $BC = 5$ см, $AC = 12$ см (кути трикутника знайдіть з точністю до градуса).

8. Знайдіть сторони прямокутника, якщо вони відносяться як $3 : 2$, а площа прямокутника дорівнює 96 см².

9. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу бічну сторону на відрізки 12 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

Короткий розв'язок

1. $P = 2(8 + 4) = 24$ см $\implies$ Г.

2. $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \implies$ В.

3. $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 = 28$ см² $\implies$ Б.

4. $(x + 3x)/2 = 12 \implies 4x = 24 \implies x = 6$. Основи: 6 см і 18 см.

5. $k = 20 / 8 = 2,5$. $T_1K_1 = 6 \cdot 2,5 = 15$ см; $KN = 25 / 2,5 = 10$ см.

6. $m = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$ см.

7. $c = 13$ см, $\angle A \approx 23^\circ, \angle B \approx 67^\circ$.

8. $6x^2 = 96 \implies x = 4$. Сторони: 12 см і 8 см.

9. $r = 6, h = 12, c = 15, a+b = 27$. $S = \frac{27}{2} \cdot 12 = 162$ см².

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості чотирикутників, ознаки подібності трикутників, теорему Піфагора та формули обчислення площ для підведення підсумків за курс 8 класу.

1. Периметр паралелограма обчислюється як сума довжин усіх його сторін:

$$P = 2(a + b) = 2(8 + 4) = 24 \text{ (см).}$$

Відповідь: Г.

2. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Знайдемо гострий кут:

$$180^\circ - 110^\circ = 70^\circ.$$

Відповідь: В.

3. Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до неї:

$$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 = 28 \text{ (см²).}$$

Відповідь: Б.

4. Нехай менша основа трапеції дорівнює $x$ см, тоді більша — $3x$ см. Середня лінія дорівнює півсумі основ:

$$\frac{x + 3x}{2} = 12 \implies \frac{4x}{2} = 12 \implies 2x = 12 \implies x = 6 \text{ (см).}$$

Більша основа: $3 \cdot 6 = 18$ (см).
Відповідь: 6 см і 18 см.

5. З подібності трикутників випливає пропорційність відповідних сторін. Знайдемо коефіцієнт подібності $k$ за сторонами $TN$ та $T_1N_1$:

$$k = \frac{T_1N_1}{TN} = \frac{20}{8} = 2,5.$$

Тоді:

$$T_1K_1 = TK \cdot k = 6 \cdot 2,5 = 15 \text{ (см);}$$

$$KN = \frac{K_1N_1}{k} = \frac{25}{2,5} = 10 \text{ (см).}$$

Відповідь: $T_1K_1 = 15$ см, $KN = 10$ см.

6. Більший катет дорівнює 8 см. Медіана ділить його на два рівні відрізки по 4 см. Розглянемо новий прямокутний трикутник, катетами якого є менший катет (5 см) та половина більшого (4 см). За теоремою Піфагора:

$$m = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \text{ (см).}$$

Відповідь: $\sqrt{41}$ см.

7. 1) Гіпотенуза $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ (см).
2) Обчислимо кути за допомогою тангенса: $\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12} \approx 0,4167 \implies \angle A \approx 23^\circ$.
3) $\angle B = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$.
Відповідь: $c = 13$ см, $\angle A \approx 23^\circ, \angle B \approx 67^\circ$.

8. Нехай сторони прямокутника дорівнюють $3x$ та $2x$. Площа $S = 3x \cdot 2x = 6x^2$.

$$6x^2 = 96 \implies x^2 = 16 \implies x = 4.$$

Сторони: $3 \cdot 4 = 12$ (см) та $2 \cdot 4 = 8$ (см).
Відповідь: 12 см і 8 см.

9. У прямокутній трапеції з вписаним колом висота $h$ дорівнює діаметру кола. Радіус кола обчислюється через відрізки, на які точка дотику ділить бічну сторону: $r = \sqrt{12 \cdot 3} = 6$ см. Тоді $h = 12$ см.
Сума основ описаного чотирикутника дорівнює сумі його бічних сторін. Бічні сторони: висота $h = 12$ см та похила сторона $c = 12 + 3 = 15$ см.
Отже, $a + b = 12 + 15 = 27$ см.
Площа: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{27}{2} \cdot 12 = 162$ (см²).
Відповідь: 162 см².